Упр.45.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_2^2 x>4\log_2 x-3$$; б) $$\log_{\frac{1}{2}}^2 x+3\log_{\frac{1}{2}}x<-2$$; в) $$\log_4^2 x+\log_4 x\leqslant2$$; г) $$\log_{0{,}2}^2 x\geqslant6-\log_{0{,}2}x$$.

а) Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда неравенство примет вид

$$y^2-4y+3>0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y-1\right)\left(y-3\right)>0.$$

Отсюда

$$y<1 \quad \text{или} \quad y>3.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\log_2 x<1 \Rightarrow 0<x<2,$$

$$\log_2 x>3 \Rightarrow x>8.$$

Ответ: $$x\in(0;2)\cup(8;+\infty).$$

б) Пусть $$y=\log_{\frac12} x.$$ Тогда

$$y^2+3y<-2,$$

то есть

$$y^2+3y+2<0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y+1\right)\left(y+2\right)<0.$$

Следовательно,

$$-2<y<-1.$$

Так как основание логарифма $$\frac12<1,$$ то

$$-2<\log_{\frac12}x<-1 \Rightarrow 2<x<4.$$

Ответ: $$x\in(2;4).$$

в) Пусть $$y=\log_4 x.$$ Тогда

$$y^2+y\le 2,$$

то есть

$$y^2+y-2\le 0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y+2\right)\left(y-1\right)\le 0.$$

Отсюда

$$-2\le y\le 1.$$

Возвращаясь к $$x$$, получаем:

$$-2\le \log_4 x\le 1 \Rightarrow 4^{-2}\le x\le 4^1.$$

Значит,

$$\frac{1}{16}\le x\le 4.$$

Ответ: $$x\in\left[\frac{1}{16};4\right].$$

г) Пусть $$y=\log_{0,2}x.$$ Тогда

$$y^2\ge 6-y,$$

то есть

$$y^2+y-6\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y+3\right)\left(y-2\right)\ge 0.$$

Следовательно,

$$y\le -3 \quad \text{или} \quad y\ge 2.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\log_{0,2}x\le -3 \Rightarrow x\ge 0,2^{-3}=125,$$

$$\log_{0,2}x\ge 2 \Rightarrow 0<x\le 0,2^2=\frac{1}{25}.$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac{1}{25}\right]\cup[125;+\infty).$$