Упр.45.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{\frac{1}{2}}(6-x)\geq\log_{\frac{1}{2}}x^2$$;

б) $$\log_{0{,}3}(x^2+22)<\log_{0{,}3}13x$$;

в) $$\log_{\frac{1}{4}}(-x-6)\leq\log_{\frac{1}{4}}(6-x^2)$$;

г) $$\log_{0{,}5}(x^2-27)>\log_{0{,}5}6x$$.

а) Так как основание логарифма $$\frac12<1,$$ то при сравнении логарифмов знак неравенства меняется:

$$\begin{aligned} \log_{\frac12}(6-x) > \log_{\frac12}x^2 \\\\ 6-x < x^2 \end{aligned}$$

Решим квадратное неравенство:

$$\begin{aligned} x^2+x-6 > 0 \\\\ (x+3)(x-2) > 0 \end{aligned}$$

Отсюда $$x<-3$$ или $$x>2.$$

Учитываем область определения:

$$\begin{aligned} 6-x > 0 \\\\ x < 6, \qquad x^2>0 \Rightarrow x\neq 0 \end{aligned}$$

Пересечение условий даёт:

$$x\in(-\infty;-3]\cup[2;6).$$

б) Так как $$0<0{,}3<1,$$ знак неравенства меняется:

$$\begin{aligned} \log_{0{,}3}(x^2+22) < \log_{0{,}3}(13x) \\\\ x^2+22 > 13x \end{aligned}$$

Получаем:

$$\begin{aligned} x^2-13x+22 > 0 \\\\ (x-2)(x-11) > 0 \end{aligned}$$

Отсюда $$x<2$$ или $$x>11.$$

С учётом области определения $$13x>0,$$ то есть $$x>0,$$ получаем:

$$x\in(0;2)\cup(11;+\infty).$$

в) Так как $$\frac14<1,$$ знак неравенства меняется:

$$\begin{aligned} \log_{\frac14}(-x-6) < \log_{\frac14}(6-x^2) \\\\ -x-6 > 6-x^2 \end{aligned}$$

Тогда

$$\begin{aligned} x^2-x-12 > 0 \\\\ (x+3)(x-4) > 0 \end{aligned}$$

Отсюда $$x<-3$$ или $$x>4.$$

Но область определения задаётся условиями:

$$\begin{aligned} -x-6 > 0 \\\\ 6-x^2 > 0 \end{aligned}$$

то есть

$$\begin{aligned} x<-6, \qquad -\sqrt6<x<\sqrt6 \end{aligned}$$

Эти условия несовместны, значит, решений нет.

г) Так как $$0<0{,}5<1,$$ знак неравенства меняется:

$$\begin{aligned} \log_{0{,}5}(x^2-27) > \log_{0{,}5}(6x) \\\\ x^2-27 < 6x \end{aligned}$$

Решим неравенство:

$$\begin{aligned} x^2-6x-27 < 0 \\\\ (x+3)(x-9) < 0 \end{aligned}$$

Отсюда $$-3<x<9.$$

С учётом области определения:

$$\begin{aligned} x^2-27 > 0 \\\\ 6x > 0 \end{aligned}$$

получаем

$$\begin{aligned} x<-3\sqrt3 \ \text{или}\ x>3\sqrt3, \qquad x>0 \end{aligned}$$

Пересечение даёт:

$$x\in(3\sqrt3;9).$$

Ответ: а) $$x\in(-\infty;-3]\cup[2;6)$$; б) $$x\in(0;2)\cup(11;+\infty)$$; в) решений нет; г) $$x\in(3\sqrt3;9).$$