Упр.45.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\log_3(x^2+6)<\log_3(5x)$$; б) $$\log_{0,6}(6x-x^2)>\log_{0,6}(-8-x)$$; в) $$\lg(x^2-8)\leq\lg(2-9x)$$; г) $$\log_{\sqrt{2}}(x^2+10x)\geq\log_{\sqrt{2}}(x-14)$$.
Используем свойство логарифмической функции: при основании $$a>1$$ знак неравенства сохраняется, а при $$0<a<1$$ — меняется на противоположный.
а)
$$\log_3(x^2+6)<\log_3 5x$$
Так как $$3>1$$, получаем систему:
$$\begin{cases} x^2+6<5x,\\ 5x>0. \end{cases}$$
Решим первое неравенство:
$$x^2-5x+6<0$$
$$(x-2)(x-3)<0$$
Отсюда $$2<x<3$$. Это условие уже удовлетворяет области определения, так как при $$x>0$$ выражение $$5x$$ положительно, а $$x^2+6>0$$ при всех $$x$$.
Ответ: $$2<x<3$$.
б)
$$\log_{0{,}6}(6x-x^2)>\log_{0{,}6}(-8-x)$$
Так как $$0<0{,}6<1$$, знак неравенства меняется:
$$\begin{cases} 6x-x^2<-8-x,\\ 6x-x^2>0,\\ -8-x>0. \end{cases}$$
Из первого неравенства:
$$x^2-7x-8>0$$
$$(x+1)(x-8)>0$$
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>8$$
Из области определения:
$$6x-x^2>0 \;\Rightarrow\; x(6-x)>0 \;\Rightarrow\; 0<x<6,$$
$$-8-x>0 \;\Rightarrow\; x<-8.$$
Эти условия несовместны, значит решений нет.
Ответ: решений нет.
в)
$$\lg(x^2-8)\le \lg(2-9x)$$
Так как основание $$10>1$$, получаем систему:
$$\begin{cases} x^2-8\le 2-9x,\\ x^2-8>0,\\ 2-9x>0. \end{cases}$$
Решим первое неравенство:
$$x^2+9x-10\le 0$$
$$(x+10)(x-1)\le 0$$
$$-10\le x\le 1$$
Из области определения:
$$x^2-8>0 \;\Rightarrow\; x<-2\sqrt2 \quad \text{или} \quad x>2\sqrt2,$$
$$2-9x>0 \;\Rightarrow\; x<\frac29.$$
Пересечение условий даёт:
$$-10\le x<-2\sqrt2.$$
Ответ: $$x\in[-10;\,-2\sqrt2)$$.
г)
$$\log_{\sqrt2}(x^2+10x)\ge \log_{\sqrt2}(x-14)$$
Так как $$\sqrt2>1$$, имеем систему:
$$\begin{cases} x^2+10x\ge x-14,\\ x^2+10x>0,\\ x-14>0. \end{cases}$$
Первое неравенство:
$$x^2+9x+14\ge 0$$
$$(x+7)(x+2)\ge 0$$
$$x\le -7 \quad \text{или} \quad x\ge -2$$
Из области определения:
$$x^2+10x>0 \;\Rightarrow\; x(x+10)>0 \;\Rightarrow\; x<-10 \quad \text{или} \quad x>0,$$
$$x-14>0 \;\Rightarrow\; x>14.$$
Пересечение условий:
$$x>14.$$
Ответ: $$x>14$$.
