Упр.45.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{2}(5x-9)\leq\log_{2}(3x+1)$$;
   б) $$\log_{0,4}(12x+2)\geq\log_{0,4}(10x+16)$$;
   в) $$\log_{\frac{1}{3}}(-x)>\log_{\frac{1}{3}}(4-2x)$$;
   г) $$\log_{2,5}(6-x)<\log_{2,5}(4-3x)$$.

а) Так как основание логарифма $$2>1,$$ то логарифмическая функция возрастает, значит

$$5x-9\le 3x+1.$$

Решаем неравенство:

$$5x-9\le 3x+1 \\\\ 2x\le 10 \\\\ x\le 5.$$

Учтём область определения:

$$5x-9>0 \Rightarrow x>\frac95, \qquad 3x+1>0 \Rightarrow x>-\frac13.$$

Пересечение условий:

$$\frac95<x\le 5.$$

б) Основание $$0{,}4<1,$$ поэтому логарифмическая функция убывает, и знак неравенства меняется:

$$12x+2\le 10x+16.$$

Решаем:

$$12x+2\le 10x+16 \\\\ 2x\le 14 \\\\ x\le 7.$$

Область определения:

$$12x+2>0 \Rightarrow x>-\frac16, \qquad 10x+16>0 \Rightarrow x>-\frac85.$$

Следовательно,

$$-\frac16<x\le 7.$$

в) Основание $$\frac13<1,$$ значит знак неравенства меняется:

$$-x<4-2x.$$

Решаем:

$$-x<4-2x \\\\ x<4.$$

Область определения:

$$-x>0 \Rightarrow x<0, \qquad 4-2x>0 \Rightarrow x<2.$$

Пересечение условий:

$$x<0.$$

г) Основание $$2{,}5>1,$$ поэтому логарифмическая функция возрастает:

$$6-x<4-3x.$$

Решаем:

$$6-x<4-3x \\\\ 2x<-2 \\\\ x<-1.$$

Область определения:

$$6-x>0 \Rightarrow x<6, \qquad 4-3x>0 \Rightarrow x<\frac43.$$

Итак,

$$x<-1.$$

Ответ: а) $$\frac95<x\le 5$$; б) $$-\frac16<x\le 7$$; в) $$x<0$$; г) $$x<-1$$.