Упр.45.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{5}x>\log_{5}(3x-4);$$
   б) $$\log_{0,6}(2x-1)<\log_{0,6}x;$$
   в) $$\log_{\frac{1}{3}}(5x-9)\geq\log_{\frac{1}{3}}4x;$$
   г) $$\log_{3}(8-6x)\leq\log_{3}2x.$$

Используем свойство логарифмической функции: при основании $$a>1$$ знак неравенства сохраняется, а при $$0<a<1$$ — меняется на противоположный. Также обязательно учитываем область определения логарифмов.

а)

$$\log_5 x>\log_5(3x-4)$$

Так как $$5>1$$, получаем:

$$x>3x-4$$

$$-2x>-4$$

$$x<2$$

ОДЗ:

$$x>0,\quad 3x-4>0$$

$$x>\frac{4}{3}$$

Пересекаем условия:

$$\frac{4}{3}<x<2$$

б)

$$\log_{0,6}(2x-1)<\log_{0,6}x$$

Так как $$0<0,6<1$$, знак неравенства меняется:

$$2x-1>x$$

$$x>1$$

ОДЗ:

$$2x-1>0,\quad x>0$$

$$x>\frac{1}{2}$$

Итак,

$$x>1$$

в)

$$\log_{\frac13}(5x-9)\ge \log_{\frac13}(4x)$$

Так как $$0<\frac13<1$$, знак неравенства меняется:

$$5x-9\le 4x$$

$$x\le 9$$

ОДЗ:

$$5x-9>0,\quad 4x>0$$

$$x>\frac95,\quad x>0$$

Следовательно,

$$\frac95<x\le 9$$

г)

$$\log_3(8-6x)\le \log_3(2x)$$

Так как $$3>1$$, знак неравенства сохраняется:

$$8-6x\le 2x$$

$$8\le 8x$$

$$x\ge 1$$

ОДЗ:

$$8-6x>0,\quad 2x>0$$

$$x<\frac43,\quad x>0$$

Пересекаем условия:

$$1\le x<\frac43$$

Ответ

а) $$\frac43<x<2$$; б) $$x>1$$; в) $$\frac95<x\le 9$$; г) $$1\le x<\frac43$$.