Упр.45.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\log_{5}(3x+1)<2$$; б) $$\log_{0,5}\frac{x}{3}\geq-2$$; в) $$\log_{\frac{1}{4}}\frac{x}{5}>1$$; г) $$\log_{\sqrt{3}}(2x-3)<4$$.
Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.
$$\log_5(3x+1)<2$$
Так как основание $$5>1$$, знак неравенства не меняется:
$$3x+1<5^2$$
При этом область определения: $$3x+1>0$$.
Получаем:
$$\begin{aligned} 3x+1 < 25,\\ 3x < 24,\\ x < 8; \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} 3x+1 > 0,\\ x > -\frac13. \end{aligned}$$
Следовательно, $$-\frac13<x<8$$.
$$\log_{0,5}\frac{x}{3}\ge -2$$
Так как основание $$0,5<1$$, знак неравенства меняется:
$$\frac{x}{3}\le (0,5)^{-2}$$
Область определения: $$\frac{x}{3}>0$$, то есть $$x>0$$.
Вычислим:
$$\begin{aligned} \frac{x}{3} &\le 4,\\ x &\le 12. \end{aligned}$$
Значит, $$0<x\le 12$$.
$$\log_{\frac14}\frac{x}{5}>1$$
Так как основание $$\frac14<1$$, знак неравенства меняется:
$$\frac{x}{5}<\left(\frac14\right)^1$$
Область определения: $$\frac{x}{5}>0$$, то есть $$x>0$$.
Тогда
$$\begin{aligned} \frac{x}{5} < \frac14,\\ x < \frac54. \end{aligned}$$
Следовательно, $$0<x<\frac54$$.
$$\log_{\sqrt3}(2x-3)<4$$
Так как основание $$\sqrt3>1$$, знак неравенства не меняется:
$$2x-3<(\sqrt3)^4$$
Область определения: $$2x-3>0$$.
Вычислим:
$$\begin{aligned} (\sqrt3)^4 &= 9,\\ 2x-3 < 9,\\ 2x < 12,\\ x < 6. \end{aligned}$$
Из условия определения:
$$\begin{aligned} 2x-3 > 0,\\ x > \frac32. \end{aligned}$$
Итак, $$\frac32<x<6$$.
Ответ: а) $$x\in\left(-\frac13;8\right)$$; б) $$x\in(0;12]$$; в) $$x\in\left(0;\frac54\right)$$; г) $$x\in\left(\frac32;6\right)$$.
