Упр.45.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{\frac{1}{3}} x \le 2$$; б) $$\log_{\frac{1}{2}} x \ge -3$$; в) $$\log_{0,2} x < 3$$; г) $$\log_{0,1} x > -\frac{1}{2}$$.

а) Так как основание логарифма $$\frac13$$ лежит между $$0$$ и $$1$$, при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

$$\log_{\frac13} x \le 2 \iff x \ge \left(\frac13\right)^2 = \frac19,$$

при этом $$x>0$$. Значит,

$$x \in \left[\frac19; +\infty\right).$$

б) Аналогично,

$$\log_{\frac12} x \ge -3 \iff x \le \left(\frac12\right)^{-3} = 8,$$

и с учётом области определения $$x>0$$ получаем

$$x \in (0; 8].$$

в) Так как $$0{,}2 = \frac15$$ и основание меньше $$1$$, знак неравенства меняется:

$$\log_{0{,}2} x < 3 \iff x > 0{,}2^3 = 0{,}008.$$

Следовательно,

$$x \in (0{,}008; +\infty).$$

г) Здесь $$0{,}1 = \frac1{10}$$, поэтому

$$\log_{0{,}1} x > -\frac12 \iff x < 0{,}1^{-\frac12} = \sqrt{10},$$

при условии $$x>0$$. Значит,

$$x \in (0; \sqrt{10}).$$

Ответ

а) $$x \in \left[\frac19; +\infty\right)$$; б) $$x \in (0; 8]$$; в) $$x \in (0{,}008; +\infty)$$; г) $$x \in (0; \sqrt{10})$$.