Упр.45.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система $$\begin{cases}\log_{0,1}(x^2-12)<\log_{0,1}(-x),\\2^{x-1}>\frac{1}{8};\end{cases}$$

б) система $$\begin{cases}3^{x^2-5x-4}<9,\\\log_{\frac{1}{5}}(x^2+3)\geq\lg_{\frac{1}{5}}4x.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_{0,1}(x^2-12)<\log_{0,1}(-x),\\ 2^{x-1}>\dfrac18. \end{cases}$$

Так как основание логарифма $$0,1<1,$$ то при сравнении логарифмов знак неравенства меняется:

$$x^2-12>-x.$$

Получаем

$$x^2+x-12>0,$$

$$(x+4)(x-3)>0.$$

Отсюда

$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Второе неравенство:

$$2^{x-1}>\frac18=2^{-3}.$$

Так как функция $$2^x$$ возрастает, то

$$x-1>-3,\qquad x>-2.$$

Теперь учтём область допустимых значений:

$$\begin{cases} x^2-12>0,\\ -x>0. \end{cases}$$

То есть

$$x<-2\sqrt3 \quad \text{или} \quad x>2\sqrt3,$$

и одновременно

$$x<0.$$

Следовательно, для первого неравенства нужно

$$x<-2\sqrt3.$$

Но это не пересекается с условием $$x<-4$$ или $$x>3$$ в нужной области, а также с $$x>-2$$ из второго неравенства. Пересечения нет.

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 3^{x^2-5x-4}<9,\\ \log_{1/5}(x^2+3)\ge \log_{1/5}(4x). \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$3^{x^2-5x-4}<3^2.$$

Так как функция $$3^x$$ возрастает, получаем

$$x^2-5x-4<2,$$

$$x^2-5x-6<0,$$

$$(x+1)(x-6)<0.$$

Отсюда

$$-1<x<6.$$

Второе неравенство. Так как основание $$\frac15<1,$$ знак неравенства меняется:

$$x^2+3\le 4x.$$

Получаем

$$x^2-4x+3\le 0,$$

$$(x-1)(x-3)\le 0.$$

Отсюда

$$1\le x\le 3.$$

Пересекаем полученные промежутки:

$$(-1;6)\cap [1;3]=[1;3].$$

Ответ

а) $$\varnothing$$; б) $$[1;3]$$.