Упр.45.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\begin{cases}\log_3 x^2>\log_3 125-\log_3 5,\\ \log_{0,2}(x-1)<0;\end{cases}$$
• б) $$\begin{cases}\log_{\frac{1}{2}}x^2\geq\log_{\frac{1}{2}}28-\log_{\frac{1}{2}}7,\\ \log_3(4x-1)>0.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \log_3 x^2 > \log_3 125-\log_3 5,\\ \log_{0,2}(x-1) < 0. \end{cases}$$

Преобразуем первое неравенство:

$$\log_3 125-\log_3 5=\log_3 \frac{125}{5}=\log_3 25,$$

поэтому

$$\log_3 x^2 > \log_3 25 \;\Rightarrow\; x^2>25.$$

С учётом области определения получаем:

$$x^2>25 \Rightarrow x>5 \text{ или } x<-5.$$

Второе неравенство:

$$\log_{0,2}(x-1)<0=\log_{0,2}1.$$

Так как основание $$0,2<1$$, знак неравенства меняется:

$$x-1>1 \Rightarrow x>2.$$

Пересечение условий:

$$(x>5 \text{ или } x<-5)\cap (x>2)=x>5.$$

Ответ: $$x\in(5;+\infty).$$

б) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} \log_{\frac12} x^2 \ge \log_{\frac12} 28-\log_{\frac12} 7,\\ \log_3(4x-1)>0. \end{cases}$$

Преобразуем первое неравенство:

$$\log_{\frac12} 28-\log_{\frac12} 7=\log_{\frac12}\frac{28}{7}=\log_{\frac12}4.$$

Тогда

$$\log_{\frac12} x^2 \ge \log_{\frac12} 4.$$

Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:

$$x^2\le 4.$$

С учётом области определения:

$$-2\le x\le 2,\qquad x\ne 0.$$

Второе неравенство:

$$\log_3(4x-1)>0=\log_3 1.$$

Так как $$3>1$$, получаем:

$$4x-1>1 \Rightarrow 4x>2 \Rightarrow x>\frac12.$$

Пересечение условий:

$$[-2;2]\cap \left(\frac12;+\infty\right)=\left(\frac12;2\right].$$

Ответ: $$x\in\left(\frac12;2\right].$$