Упр.45.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите систему неравенств:
   а) $$\begin{cases} \log_2(2+3)>\log_2(x-2),\\ \log_6(3-1)\leq\log_6(9x+4); \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} \log_3(6x-1)\leq\log_3(9x+11),\\ \log_6(3-x)>\log_6(4x-1). \end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_2(2x+3) > \log_2(x-2),\\ \log_6(3x-1) \le \log_6(9x+4). \end{cases}$$

Так как основания логарифмов больше $$1$$, то знаки неравенств сохраняются.

Из первого неравенства получаем:

$$2x+3 > x-2 \;\Rightarrow\; x > -5.$$

Из второго неравенства:

$$3x-1 \le 9x+4 \;\Rightarrow\; -6x \le 5 \;\Rightarrow\; x \ge -\frac{5}{6}.$$

Найдём область допустимых значений:

$$\begin{cases} 2x+3 > 0,\\ x-2 > 0,\\ 3x-1 > 0,\\ 9x+4 > 0. \end{cases}$$

Отсюда:

$$x > -\frac{3}{2},\quad x > 2,\quad x > \frac{1}{3},\quad x > -\frac{4}{9}.$$

Значит, ОДЗ задаётся условием $$x > 2.$$

Пересекаем все полученные условия:

$$x > 2.$$

Ответ: $$x \in (2;+\infty).$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_3(6x-1) \le \log_3(9x+11),\\ \log_6(3-x) > \log_6(4x-1). \end{cases}$$

Так как основания логарифмов больше $$1$$, то знаки неравенств сохраняются.

Из первого неравенства:

$$6x-1 \le 9x+11 \;\Rightarrow\; -3x \le 12 \;\Rightarrow\; x \ge -4.$$

Из второго неравенства:

$$3-x > 4x-1 \;\Rightarrow\; 4 > 5x \;\Rightarrow\; x < \frac{4}{5}.$$

Найдём область допустимых значений:

$$\begin{cases} 6x-1 > 0,\\ 9x+11 > 0,\\ 3-x > 0,\\ 4x-1 > 0. \end{cases}$$

Отсюда:

$$x > \frac{1}{6},\quad x > -\frac{11}{9},\quad x < 3,\quad x > \frac{1}{4}.$$

Следовательно, ОДЗ: $$\frac{1}{4} < x < 3.$$

Пересекаем все условия:

$$\frac{1}{4} < x < \frac{4}{5}.$$

Ответ: $$x \in \left(\frac{1}{4};\frac{4}{5}\right).$$