Упр.45.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
   а) $$\log_{12}(x^2-x)\le 1$$;
   б) $$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-10x+9)\ge 0$$;
   в) $$\log_{9}(x^2-8x)\le 1$$;
   г) $$\log_{0,3}(-x^2+7x-5)<0$$?

а) Так как основание логарифма $$12>1,$$ то

$$\log_{12}(x^2-x)\le 1 \iff x^2-x\le 12.$$

Получаем:

$$x^2-x-12\le 0$$

$$(x+3)(x-4)\le 0,$$

откуда $$-3\le x\le 4.$$

Теперь учтём область определения:

$$x^2-x>0 \iff x(x-1)>0 \iff x<0 \text{ или } x>1.$$

Пересечение с $$[-3;4]$$ даёт целые числа:

$$x=-3,-2,-1,2,3,4.$$

Ответ: $$6.$$

б) Так как основание $$\frac12<1,$$ то

$$\log_{\frac12}(x^2-10x+9)\ge 0 \iff x^2-10x+9\le 1.$$

Тогда

$$x^2-10x+8\le 0$$

$$D=100-32=68,$$

$$x=\frac{10\pm\sqrt{68}}{2}=5\pm\sqrt{17}.$$

Значит,

$$5-\sqrt{17}\le x\le 5+\sqrt{17}.$$

Но область определения требует:

$$x^2-10x+9>0 \iff (x-1)(x-9)>0 \iff x<1 \text{ или } x>9.$$

Пересечения с найденным промежутком нет, поэтому целочисленных решений нет.

Ответ: $$0.$$

в) Так как основание $$9>1,$$ то

$$\log_9(x^2-8x)\le 1 \iff x^2-8x\le 9.$$

Получаем:

$$x^2-8x-9\le 0$$

$$(x+1)(x-9)\le 0,$$

откуда

$$-1\le x\le 9.$$

Область определения:

$$x^2-8x>0 \iff x(x-8)>0 \iff x<0 \text{ или } x>8.$$

Пересечение даёт целые решения:

$$x=-1,9.$$

Ответ: $$2.$$

г) Так как основание $$0{,}3<1,$$ то

$$\log_{0{,}3}(-x^2+7x-5)<0 \iff -x^2+7x-5>1.$$

Тогда

$$-x^2+7x-6>0$$

$$x^2-7x+6<0$$

$$(x-1)(x-6)<0,$$

откуда

$$1<x<6.$$

Целые решения:

$$x=2,3,4,5.$$

Ответ: $$4.$$