Упр.45.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{2}^{2} x^{2}-15\log_{2}x-4\leq0$$; б) $$\log_{\frac{1}{3}}^{2}x^{2}-7\log_{\frac{1}{3}}x+3\leq0$$; в) $$\log_{3}^{2}x^{2}+13\log_{3}x+3<0$$; г) $$\log_{\frac{1}{5}}^{2}x^{2}-31\log_{\frac{1}{5}}x-8<0$$.

а) Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда

$$\log_2^2 x-15\log_2 x-4\le 0 \\\\ 4y^2-15y-4\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=289,$$

$$y_1=\frac{15-17}{8}=-\frac14,\qquad y_2=\frac{15+17}{8}=4.$$

Тогда

$$\left(y+\frac14\right)(y-4)\le 0,$$

откуда

$$-\frac14\le y\le 4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-\frac14\le \log_2 x\le 4.$$

Так как основание $$2>1$$, получаем

$$2^{-1/4}\le x\le 2^4,$$

то есть

$$x\in\left[2^{-1/4};\,16\right].$$

б) Пусть $$y=\log_{1/3} x.$$ Тогда

$$\log_{1/3}^2 x-7\log_{1/3} x+3\le 0 \\\\ 4y^2-7y+3\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=1,$$

$$y_1=\frac{7-1}{8}=\frac34,\qquad y_2=\frac{7+1}{8}=1.$$

Следовательно,

$$\frac34\le y\le 1.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$\frac34\le \log_{1/3} x\le 1.$$

Так как основание $$\frac13<1$$, знак неравенств при переходе к $$x$$ меняется:

$$\left(\frac13\right)^1\le x\le \left(\frac13\right)^{3/4}.$$

Значит,

$$x\in\left[\frac13;\,\frac{1}{\sqrt[4]{27}}\right].$$

в) Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

$$\log_3^2 x+13\log_3 x+3<0 \\\\ 4y^2+13y+3<0.$$

Найдём корни:

$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 3=121,$$

$$y_1=\frac{-13-11}{8}=-3,\qquad y_2=\frac{-13+11}{8}=-\frac14.$$

Тогда

$$-3<y<-\frac14.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$-3<\log_3 x<-\frac14.$$

Так как $$3>1$$, получаем

$$3^{-3}<x<3^{-1/4}.$$

Следовательно,

$$x\in\left(\frac1{27};\,\frac1{\sqrt[4]{3}}\right).$$

г) Пусть $$y=\log_{1/5} x.$$ Тогда

$$\log_{1/5}^2 x-31\log_{1/5} x-8<0 \\\\ 4y^2-31y-8<0.$$

Найдём корни:

$$D=31^2+4\cdot 4\cdot 8=1089,$$

$$y_1=\frac{31-33}{8}=-\frac14,\qquad y_2=\frac{31+33}{8}=8.$$

Тогда

$$-\frac14<y<8.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$-\frac14<\log_{1/5} x<8.$$

Так как основание $$\frac15<1$$, знак неравенств меняется:

$$\left(\frac15\right)^8<x<\left(\frac15\right)^{-1/4}.$$

Следовательно,

$$x\in\left(\frac1{5^8};\,\sqrt[4]{5}\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left[2^{-1/4};\,16\right]$$; б) $$x\in\left[\frac13;\,\frac{1}{\sqrt[4]{27}}\right]$$; в) $$x\in\left(\frac1{27};\,\frac1{\sqrt[4]{3}}\right)$$; г) $$x\in\left(\frac1{5^8};\,\sqrt[4]{5}\right)$$.