Упр.45.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$2\log_5^2 x+6\log_5 x+2\geq 0$$;
б) $$2\log_{0,3}^2 x-7\log_{0,3} x-4\leq 0$$;
в) $$3\log_4^2 x-7\log_4 x+2<0$$;
г) $$3\log_{\frac{1}{3}}^2 x+5\log_{\frac{1}{3}} x-2>0$$.
Пусть $$t=\log_5 x.$$ Тогда при $$x>0$$ неравенство
$$2\log_5^2 x+5\log_5 x+2\ge 0$$
примет вид
$$2t^2+5t+2\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$2t^2+5t+2=(2t+1)(t+2).$$
Тогда
$$(2t+1)(t+2)\ge 0,$$
откуда
$$t\le -2 \quad \text{или} \quad t\ge -\frac12.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_5 x\le -2 \quad \Rightarrow \quad 0<x\le 5^{-2}=\frac1{25},$$
$$\log_5 x\ge -\frac12 \quad \Rightarrow \quad x\ge 5^{-1/2}=\frac1{\sqrt5}.$$
Ответ: $$x\in\left(0;\frac1{25}\right]\cup\left[\frac1{\sqrt5};+\infty\right).$$
Пусть $$t=\log_{0,3} x.$$ Тогда при $$x>0$$ неравенство
$$2\log_{0,3}^2 x-7\log_{0,3} x-4\le 0$$
примет вид
$$2t^2-7t-4\le 0.$$
Разложим на множители:
$$2t^2-7t-4=(2t+1)(t-4).$$
Тогда
$$(2t+1)(t-4)\le 0,$$
откуда
$$-\frac12\le t\le 4.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$-\frac12\le \log_{0,3} x\le 4.$$
Так как $$0<0,3<1$$, знак неравенств при переходе к основанию меняется:
$$0,3^4\le x\le 0,3^{-1/2}.$$
Получаем
$$0,0081\le x\le \frac{\sqrt{30}}{3}.$$
Ответ: $$x\in\left[0,0081;\frac{\sqrt{30}}{3}\right].$$
Пусть $$t=\log_4 x.$$ Тогда при $$x>0$$ неравенство
$$3\log_4^2 x-7\log_4 x+2<0$$
примет вид
$$3t^2-7t+2<0.$$
Разложим на множители:
$$3t^2-7t+2=(3t-1)(t-2).$$
Тогда
$$(3t-1)(t-2)<0,$$
откуда
$$\frac13<t<2.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac13<\log_4 x<2.$$
Следовательно,
$$\sqrt[3]{4}<x<16.$$
Ответ: $$x\in\left(\sqrt[3]{4};16\right).$$
Пусть $$t=\log_{1/3} x.$$ Тогда при $$x>0$$ неравенство
$$3\log_{1/3}^2 x+5\log_{1/3} x-2>0$$
примет вид
$$3t^2+5t-2>0.$$
Разложим на множители:
$$3t^2+5t-2=(3t-1)(t+2).$$
Тогда
$$(3t-1)(t+2)>0,$$
откуда
$$t<-2 \quad \text{или} \quad t>\frac13.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_{1/3} x<-2 \quad \Rightarrow \quad x>9,$$
$$\log_{1/3} x>\frac13 \quad \Rightarrow \quad 0<x<\left(\frac13\right)^{1/3}=\frac1{\sqrt[3]{3}}.$$
Ответ: $$x\in\left(0;\frac1{\sqrt[3]{3}}\right)\cup(9;+\infty).$$
