Упр.45.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\log_3 x > \log_3 72 — \log_3 8$$;
  б) $$3\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 9 + \log_{\frac{1}{3}} 3$$;
  в) $$\log_5 x — \log_5 35 \leq \log_5 \frac{1}{7}$$;
  г) $$4\log_{0,6} x \geq \log_{0,6} 8 + \log_{0,6} 2$$.

а) $$\log_3 x>\log_3 72-\log_3 8$$

Используем свойство логарифмов:

$$\log_3 72-\log_3 8=\log_3 \frac{72}{8}=\log_3 9$$

Тогда

$$\log_3 x>\log_3 9$$

Так как основание $$3>1$$, знак неравенства сохраняется:

$$x>9$$

Ответ: $$x\in(9;+\infty)$$

б) $$3\log_{\frac13}x<\log_{\frac13}9+\log_{\frac13}3$$

Сложим логарифмы справа:

$$\log_{\frac13}9+\log_{\frac13}3=\log_{\frac13}(9\cdot 3)=\log_{\frac13}27$$

Тогда

$$3\log_{\frac13}x<\log_{\frac13}27$$

Так как $$27=3^3$$ и $$\log_{\frac13}x^3=3\log_{\frac13}x$$, получаем:

$$\log_{\frac13}x^3<\log_{\frac13}27$$

Основание $$\frac13<1$$, значит при сравнении логарифмов знак неравенства меняется:

$$x^3>27$$

С учётом ОДЗ $$x>0$$ имеем:

$$x>3$$

Ответ: $$x\in(3;+\infty)$$

в) $$\log_5 x-\log_5 35\le \log_5 \frac17$$

Объединим логарифмы слева:

$$\log_5 \frac{x}{35}\le \log_5 \frac17$$

Так как основание $$5>1$$, знак неравенства сохраняется:

$$\frac{x}{35}\le \frac17$$

Отсюда

$$x\le 5$$

С учётом ОДЗ $$x>0$$ получаем:

$$0<x\le 5$$

Ответ: $$x\in(0;5]$$

г) $$4\log_{0,6}x\ge \log_{0,6}8+\log_{0,6}2$$

Сложим логарифмы справа:

$$\log_{0,6}8+\log_{0,6}2=\log_{0,6}(8\cdot 2)=\log_{0,6}16$$

Тогда

$$4\log_{0,6}x\ge \log_{0,6}16$$

Так как $$4\log_{0,6}x=\log_{0,6}x^4$$, получаем:

$$\log_{0,6}x^4\ge \log_{0,6}16$$

Основание $$0,6<1$$, поэтому знак неравенства меняется:

$$x^4\le 16$$

С учётом ОДЗ $$x>0$$:

$$0<x\le 2$$

Ответ: $$x\in(0;2]$$