Упр.45.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

• а) $$\log_2 x \geq 4$$; б) $$\log_2 x \leq -3$$; в) $$\log_2 x < \frac{1}{2}$$; г) $$\log_2 x > -\frac{1}{2}$$.

Так как основание логарифма $$2>1,$$ функция $$y=\log_2 x$$ возрастает. Поэтому при переходе от логарифмического неравенства к показательной форме знак неравенства сохраняется.

1. $$\log_2 x \ge 4$$

   $$\log_2 x \ge \log_2 2^4$$

   $$x \ge 16,\quad x>0$$

   Следовательно, $$x \in [16;+\infty).$$

2. $$\log_2 x \le -3$$

   $$\log_2 x \le \log_2 2^{-3}$$

   $$0<x\le \frac18$$

   Следовательно, $$x \in \left(0;\frac18\right].$$

3. $$\log_2 x < \frac12$$

   $$\log_2 x < \log_2 2^{1/2}$$

   $$0<x<\sqrt2$$

   Следовательно, $$x \in (0;\sqrt2).$$

4. $$\log_2 x > -\frac12$$

   $$\log_2 x > \log_2 2^{-1/2}$$

   $$x>\frac{1}{\sqrt2},\quad x>0$$

   Следовательно, $$x \in \left(\frac{1}{\sqrt2};+\infty\right).$$

Ответ: а) $$x \in [16;+\infty)$$; б) $$x \in \left(0;\frac18\right]$$; в) $$x \in (0;\sqrt2)$$; г) $$x \in \left(\frac{1}{\sqrt2};+\infty\right).$$