Упр.44.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2\log_5^2 x+5\log_5 x+2=0$$; б) $$3\log_4^2 x-7\log_4 x+2=0$$; в) $$2\log_{0,3}^2 x-7\log_{0,3} x-4=0$$; г) $$3\log_{\frac{1}{2}}^2 x+5\log_{\frac{1}{2}} x-2=0$$.

Пусть $$y=\log_a x.$$ Тогда каждое уравнение сводится к квадратному относительно $$y$$.

а)

$$2\log_5^2 x+5\log_5 x+2=0$$

Положим $$y=\log_5 x$$. Получим:

$$2y^2+5y+2=0$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{2\cdot 2}$$

$$y_1=-2,\qquad y_2=-\frac12$$

Тогда:

$$\log_5 x=-2 \Rightarrow x=5^{-2}=\frac1{25}$$

$$\log_5 x=-\frac12 \Rightarrow x=5^{-1/2}=\frac1{\sqrt5}$$

Ответ: $$\frac1{25};\ \frac1{\sqrt5}$$

б)

$$3\log_4^2 x-7\log_4 x+2=0$$

Положим $$y=\log_4 x$$. Тогда:

$$3y^2-7y+2=0$$

$$D=7^2-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25$$

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 5}{2\cdot 3}$$

$$y_1=\frac13,\qquad y_2=2$$

Следовательно:

$$\log_4 x=\frac13 \Rightarrow x=4^{1/3}=\sqrt[3]{4}$$

$$\log_4 x=2 \Rightarrow x=4^2=16$$

Ответ: $$\sqrt[3]{4};\ 16$$

в)

$$2\log_{0,3}^2 x-7\log_{0,3} x-4=0$$

Положим $$y=\log_{0,3} x$$. Тогда:

$$2y^2-7y-4=0$$

$$D=7^2+4\cdot 2\cdot 4=49+32=81$$

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2\cdot 2}$$

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=4$$

Тогда:

$$\log_{0,3} x=-\frac12 \Rightarrow x=(0,3)^{-1/2}=\frac{\sqrt{10}}{3}=\frac{\sqrt{30}}{3}$$

$$\log_{0,3} x=4 \Rightarrow x=(0,3)^4=0,0081$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{30}}{3};\ 0,0081$$

г)

$$3\log_{1/2}^2 x+5\log_{1/2} x-2=0$$

Положим $$y=\log_{1/2} x$$. Тогда:

$$3y^2+5y-2=0$$

$$D=5^2+4\cdot 3\cdot 2=25+24=49$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2\cdot 3}$$

$$y_1=\frac13,\qquad y_2=-2$$

Следовательно:

$$\log_{1/2} x=\frac13 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{1/3}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$$

$$\log_{1/2} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac12\right)^{-2}=4$$

Ответ: $$\frac{\sqrt[3]{4}}{2};\ 4$$