Упр.44.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\log_2^2 x-4\log_2 x+3=0$$; б) $$\log_4^2 x-\log_4 x-2=0$$; в) $$\log_{\frac{1}{2}}^2 x+3\log_{\frac{1}{2}} x+2=0$$; г) $$\log_{0,2}^2 x+\log_{0,2} x-6=0$$.

Решим каждое уравнение заменой переменной.

1. $$\log_2^2 x-4\log_2 x+3=0$$

   Пусть $$t=\log_2 x$$. Тогда

   $$t^2-4t+3=0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-3\right)=0$$

   Отсюда $$t=1$$ или $$t=3$$.

   Тогда

   $$\log_2 x=1 \Rightarrow x=2$$

   $$\log_2 x=3 \Rightarrow x=8$$

2. $$\log_4^2 x-\log_4 x-2=0$$

   Пусть $$t=\log_4 x$$. Тогда

   $$t^2-t-2=0$$

   $$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0$$

   Отсюда $$t=2$$ или $$t=-1$$.

   Тогда

   $$\log_4 x=2 \Rightarrow x=16$$

   $$\log_4 x=-1 \Rightarrow x=\frac14$$

3. $$\log_{\frac12}^2 x+3\log_{\frac12} x+2=0$$

   Пусть $$t=\log_{\frac12} x$$. Тогда

   $$t^2+3t+2=0$$

   $$\left(t+1\right)\left(t+2\right)=0$$

   Отсюда $$t=-1$$ или $$t=-2$$.

   Тогда

   $$\log_{\frac12} x=-1 \Rightarrow x=2$$

   $$\log_{\frac12} x=-2 \Rightarrow x=4$$

4. $$\log_{0,2}^2 x+\log_{0,2} x-6=0$$

   Пусть $$t=\log_{0,2} x$$. Тогда

   $$t^2+t-6=0$$

   $$\left(t+3\right)\left(t-2\right)=0$$

   Отсюда $$t=-3$$ или $$t=2$$.

   Тогда

   $$\log_{0,2} x=-3 \Rightarrow x=(0,2)^{-3}=125$$

   $$\log_{0,2} x=2 \Rightarrow x=(0,2)^2=0,04$$

Ответ

а) $$2; 8$$
б) $$\frac14; 16$$
в) $$2; 4$$
г) $$0,04; 125$$