Упр.44.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_2(x^2+7x-5)=\log_2(4x-1)$$; б) $$\log_{0,3}(-x^2+5x+7)=\log_{0,3}(10x-7)$$; в) $$\log_2(x^2+x-1)=\log_2(-x+7)$$; г) $$\log_{0,2}(-x^2+4x+5)=\log_{0,2}(-x-31)$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$\log_2(x^2+7x-5)=\log_2(4x-1).$$

Так как основания логарифмов одинаковы и больше $$0$$, то при равных логарифмах равны их аргументы:

$$x^2+7x-5=4x-1.$$

Получаем:

$$x^2+3x-4=0$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-4,\quad x_2=1.$$

Проверим область допустимых значений:

$$4x-1>0 \Rightarrow x>\frac14.$$

Подходит только $$x=1$$.

б) Рассмотрим уравнение

$$\log_{0,3}(-x^2+5x+7)=\log_{0,3}(10x-7).$$

Тогда

$$-x^2+5x+7=10x-7,$$

$$x^2+5x-14=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{2}.$$

Получаем

$$x_1=2,\quad x_2=-7.$$

Проверим ОДЗ:

$$10x-7>0 \Rightarrow x>\frac{7}{10}.$$

Подходит только $$x=2$$.

в) Рассмотрим уравнение

$$\log_2(x^2+x-1)=\log_2(-x+7).$$

Тогда

$$x^2+x-1=-x+7,$$

$$x^2+2x-8=0.$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}.$$

Получаем

$$x_1=2,\quad x_2=-4.$$

Проверим ОДЗ:

$$-x+7>0 \Rightarrow x<7.$$

Оба корня подходят.

г) Рассмотрим уравнение

$$\log_{0,2}(-x^2+4x+5)=\log_{0,2}(-x-31).$$

Тогда

$$-x^2+4x+5=-x-31,$$

$$x^2-5x-36=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-36)=169,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 13}{2}.$$

Получаем

$$x_1=9,\quad x_2=-4.$$

Проверим ОДЗ:

$$-x-31>0 \Rightarrow x<-31.$$

Ни один из найденных корней не подходит.

Ответ: а) $$1$$; б) $$2$$; в) $$-4,\,2$$; г) корней нет.