Упр.44.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

$$\log_x\left(3x-\sqrt{18}\right)+\log_{x^2}\left(6+x\sqrt{72}+3x^2\right)=\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}$$

Преобразуем выражения под логарифмами:

$$3x-\sqrt{18}=3(x-\sqrt2),$$

$$6+x\sqrt{72}+3x^2=3\bigl(x^2+2x\sqrt2+2\bigr)=3(x+\sqrt2)^2,$$

$$27x^2=3\sqrt3\,x\cdot 3\sqrt3\,x.$$

Тогда уравнение можно записать так:

$$\log_x\bigl(3(x-\sqrt2)\bigr)+\log_{x^2}\bigl(3(x+\sqrt2)^2\bigr)=\log_{x^2}27x^2.$$

Переходим к основанию $$x$$:

$$\log_{x^2}A=\frac{1}{2}\log_x A,$$

поэтому

$$\log_x\bigl(3(x-\sqrt2)\bigr)+\frac12\log_x\bigl(3(x+\sqrt2)^2\bigr)=\frac12\log_x(27x^2).$$

Умножим на $$2$$:

$$2\log_x\bigl(3(x-\sqrt2)\bigr)+\log_x\bigl(3(x+\sqrt2)^2\bigr)=\log_x(27x^2).$$

Используем свойства логарифмов:

$$\log_x\Bigl(9(x-\sqrt2)^2\cdot 3(x+\sqrt2)^2\Bigr)=\log_x(27x^2).$$

Следовательно,

$$9\cdot 3\,(x-\sqrt2)^2(x+\sqrt2)^2=27x^2,$$

$$3(x^2-2)^2=x^2.$$

Решим полученное уравнение:

$$3(x^2-2)^2=x^2$$

$$3(x^4-4x^2+4)-x^2=0$$

$$3x^4-13x^2+12=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$3t^2-13t+12=0,$$

$$D=13^2-4\cdot 3\cdot 12=169-144=25,$$

$$t_{1,2}=\frac{13\pm 5}{6}.$$

Получаем:

$$t_1=3,\qquad t_2=\frac43.$$

Значит,

$$x^2=3 \quad \text{или} \quad x^2=\frac43.$$

С учётом области допустимых значений:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad x-\sqrt2>0,$$

то есть $$x>\sqrt2.$$

Из найденных корней подходит только

$$x=\sqrt3.$$

Ответ: $$\sqrt3$$.