Упр.44.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$x^2\log_{36}(5x^2-2x-3)-x\log_{\frac{1}{6}}\sqrt{5x^2-2x-3}=x^2+x$$;

б) $$x^2\log_{2}\frac{3+x}{10}-x^2\log_{\frac{1}{2}}(2+3x)=x^2-4+2\log_{\sqrt{2}}\frac{3x^2+11x+6}{10}$$.

а) Обозначим

$$t=\log_6(5x^2-2x-3).$$

Тогда

$$\log_{36}(5x^2-2x-3)=\frac12\log_6(5x^2-2x-3)=\frac12t,$$

$$\log_{1/6}\sqrt{5x^2-2x-3}=\log_{1/6}(5x^2-2x-3)^{1/2}=-\frac12\log_6(5x^2-2x-3)=-\frac12t.$$

Получаем уравнение

$$\frac12x^2t-\;x\left(-\frac12t\right)=x^2+x,$$

$$\frac12x^2t+\frac12xt=x^2+x,$$

$$\frac12x^2t-x^2+\frac12xt-x=0,$$

$$x^2\left(\frac t2-1\right)+x\left(\frac t2-1\right)=0,$$

$$x(x+1)\left(\frac t2-1\right)=0,$$

откуда

$$x=0,\quad x=-1,\quad t=2.$$

При $$x=0$$ и $$x=-1$$ получаем

$$5x^2-2x-3=0,$$

то есть логарифм не определён, поэтому эти корни не подходят.

Остаётся

$$\log_6(5x^2-2x-3)=2,$$

$$5x^2-2x-3=36,$$

$$5x^2-2x-39=0.$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-39)=4+780=784,$$

$$x=\frac{2\pm 28}{10}.$$

Тогда

$$x_1=-\frac{26}{10}=-\frac{13}{5},\qquad x_2=\frac{30}{10}=3.$$

Оба корня удовлетворяют области допустимых значений.

б) Обозначим

$$t=\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}.$$

Так как

$$\log_{1/2}A=-\log_2A,$$

то уравнение перепишется так:

$$x^2\log_2\frac{3+x}{10}+x^2\log_2(2+3x)=x^2-4+2t.$$

Используем свойство логарифмов:

$$\log_2\frac{3+x}{10}+\log_2(2+3x)=\log_2\frac{(3+x)(2+3x)}{10}=\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=t.$$

Тогда

$$x^2t=x^2-4+4t,$$

$$x^2t-x^2+4-4t=0,$$

$$x^2(t-1)-4(t-1)=0,$$

$$\left(x^2-4\right)(t-1)=0,$$

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)(t-1)=0.$$

Из-за ОДЗ

$$3+x>0,\qquad 2+3x>0,$$

получаем $$x>-\frac23$$, поэтому $$x=-2$$ не подходит. Значит,

$$t=1.$$

Тогда

$$\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=1,$$

$$\frac{3x^2+11x+6}{10}=2,$$

$$3x^2+11x-14=0.$$

$$D=11^2-4\cdot 3\cdot(-14)=121+168=289,$$

$$x=\frac{-11\pm 17}{6}.$$

Получаем

$$x_1=-\frac{28}{6}=-\frac{14}{3},\qquad x_2=1.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=1$$.

Ответ

а) $$-\frac{13}{5},\ 3$$

б) $$1$$