Упр.44.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$6^{\log_6^2 x}+x^{\log_6 x}=12$$; б) $$10^{\lg^2 x}+9x^{\lg x}=1000$$.

Пусть $$t=\log_6 x$$ в пункте а) и $$t=\lg x$$ в пункте б).

а)

$$6^{\log_6^2 x}+x^{\log_6 x}=12$$

Так как $$6^{\log_6^2 x}=6^{(\log_6 x)^2}$$, а $$x^{\log_6 x}=(6^{\log_6 x})^{\log_6 x}=6^{(\log_6 x)^2},$$ то уравнение принимает вид

$$2x^{\log_6 x}=12.$$

Тогда

$$x^{\log_6 x}=6.$$

Возьмём логарифм по основанию $$6$$:

$$\log_6\left(x^{\log_6 x}\right)=\log_6 6,$$

$$\log_6 x\cdot \log_6 x=1,$$

$$\log_6^2 x=1.$$

Следовательно,

$$\log_6 x=\pm 1.$$

Отсюда

$$x_1=6,\qquad x_2=\frac16.$$

б)

$$10^{\lg^2 x}+9x^{\lg x}=1000$$

Поскольку $$10^{\lg^2 x}=10^{(\lg x)^2}$$, а $$x^{\lg x}=(10^{\lg x})^{\lg x}=10^{(\lg x)^2},$$ получаем

$$10x^{\lg x}=1000.$$

Тогда

$$x^{\lg x}=100.$$

Возьмём десятичный логарифм:

$$\lg\left(x^{\lg x}\right)=\lg 100,$$

$$\lg x\cdot \lg x=2,$$

$$\lg^2 x=2.$$

Следовательно,

$$\lg x=\pm \sqrt2.$$

Отсюда

$$x_1=10^{\sqrt2},\qquad x_2=10^{-\sqrt2}=\frac1{10^{\sqrt2}}.$$

Ответ

а) $$\frac16,\ 6$$; б) $$\frac1{10^{\sqrt2}},\ 10^{\sqrt2}$$.