Упр.44.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. а) $$\log_9(3^x+2x-20)=x-x\log_9 3$$;
2. б) $$0{,}4\lg^2(x-1)=6{,}25^{-2-\lg x^2}$$.

а) $$\log_9(3^x+2x-20)=x-x\log_9 3.$$

Так как $$\log_9 3=\frac12,$$ то

$$x-x\log_9 3=x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$\log_9(3^x+2x-20)=\frac{x}{2}=\log_9 3^x.$$

Следовательно,

$$3^x+2x-20=3^x.$$

Отсюда

$$2x-20=0,$$

$$x=10.$$

Проверка области допустимых значений: при $$x=10$$ имеем $$3^{10}+2\cdot 10-20>0,$$ значит, корень подходит.

б) $$0{,}4^{\lg^2 x-1}=6{,}25^{-2-\lg x^2}.$$

Представим основания в виде степеней числа $$10$$:

$$0{,}4=10^{\log 0{,}4}, \qquad 6{,}25=\frac{25}{4}=\left(\frac52\right)^2,$$

и воспользуемся тем, что $$\log_{0{,}4} 6{,}25=-2.$$ Тогда, переходя к логарифмам по основанию $$0{,}4,$$ получаем

$$\lg^2 x-1=-2(-2-2\lg x).$$

Сделаем замену:

$$t=\lg x.$$

Тогда

$$t^2-1=-2(-2-2t),$$

$$t^2-4t-5=0,$$

$$\left(t-5\right)\left(t+1\right)=0.$$

Отсюда

$$t_1=5,\qquad t_2=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\lg x=5 \Rightarrow x=10^5,$$

$$\lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}.$$

Оба значения удовлетворяют области определения $$x>0.$$

Ответ

а) $$10$$; б) $$10^{-1},\ 10^5$$.