Упр.44.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Решите систему:
   $$\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}\left(\frac{1}{3}\right)^{-y}=\frac{1}{27},\\ \log_2 2x-\log_2 y=2; \end{cases}$$
   б) Решите систему:
   $$\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x(\sqrt{2})^y=\log_9 3,\\ \log_4 y-\log_4 x=1. \end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \left(\dfrac13\right)^{2x}\cdot \left(\dfrac13\right)^{-y}=\dfrac1{27},\\ \log_2(2x)-\log_2 y=2. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем:

$$\left(\dfrac13\right)^{2x-y}=\left(\dfrac13\right)^3,$$

значит,

$$2x-y=3.$$

Из второго уравнения:

$$\log_2(2x)-\log_2 y=\log_2\frac{2x}{y}=2,$$

откуда

$$\frac{2x}{y}=4,\qquad 2x=4y.$$

Решим систему

$$\begin{cases} 2x-y=3,\\ 2x=4y. \end{cases}$$

Подставим $$2x=4y$$ в первое уравнение:

$$4y-y=3,\qquad 3y=3,\qquad y=1.$$

Тогда

$$2x=4,\qquad x=2.$$

Проверка области допустимых значений: $$x>0$$, $$y>0$$, условие выполнено.

Ответ: $$(2;\,1).$$

Ответ

$$(2;\,1)$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \left(\dfrac12\right)^x\cdot (\sqrt2)^y=\log_9 3,\\ \log_4 y-\log_4 x=1. \end{cases}$$

Так как $$\log_9 3=\dfrac12,$$ то первое уравнение перепишем так:

$$\left(\dfrac12\right)^x\cdot \left(\dfrac12\right)^{-y/2}=\dfrac12,$$

откуда

$$\left(\dfrac12\right)^{x-\frac y2}=\left(\dfrac12\right)^1, \qquad x-\frac y2=1.$$

Второе уравнение:

$$\log_4 y-\log_4 x=\log_4\frac{y}{x}=1,$$

значит,

$$\frac{y}{x}=4,\qquad y=4x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x-\frac{4x}{2}=1,$$

$$x-2x=1,\qquad -x=1,\qquad x=-1.$$

Тогда

$$y=4x=-4.$$

Но для логарифмов должно быть $$x>0$$ и $$y>0$$. Полученные значения этому не удовлетворяют, значит, система решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Ответ

Решений нет.