Упр.44.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Система $$\begin{cases}2^x\cdot2^y=16,\\ \log_3 x+\log_3 y=1;\end{cases}$$
   б) Система $$\begin{cases}9^x\cdot3^y=81,\\ \log_2 x+\log_2 y=1.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16,\\ \log_3 x + \log_3 y = 1. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем:

$$2^{x+y}=16=2^4 \Rightarrow x+y=4.$$

Из второго уравнения:

$$\log_3 x+\log_3 y=\log_3(xy)=1,$$

значит

$$xy=3.$$

Тогда

$$\begin{cases} x+y=4,\\ xy=3. \end{cases}$$

Пусть $$y=4-x$$. Подставим во второе уравнение:

$$x(4-x)=3,$$

$$x^2-4x+3=0,$$

$$(x-1)(x-3)=0.$$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=3$$. Тогда соответственно $$y=3$$ или $$y=1$$.

С учётом области допустимых значений $$x>0,\ y>0$$ получаем решения:

$$(1;3),\ (3;1).$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81,\\ \log_2 x + \log_2 y = 1. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$9^x\cdot 3^y=(3^2)^x\cdot 3^y=3^{2x+y}=81=3^4,$$

значит

$$2x+y=4.$$

Из второго уравнения:

$$\log_2 x+\log_2 y=\log_2(xy)=1,$$

следовательно

$$xy=2.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} 2x+y=4,\\ xy=2. \end{cases}$$

Выразим $$y$$:

$$y=4-2x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x(4-2x)=2,$$

$$2x^2-4x+2=0,$$

$$x^2-2x+1=0,$$

$$(x-1)^2=0.$$

Отсюда $$x=1$$, тогда

$$y=4-2\cdot 1=2.$$

С учётом области допустимых значений $$x>0,\ y>0$$ получаем:

$$(1;2).$$

Ответ

а) $$(1;3),\ (3;1)$$; б) $$(1;2)$$.