Упр.44.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) система $$\begin{cases}\log_{9}(x-y)=\frac{1}{2},\\ \log_{64}x-\log_{64}y=\frac{1}{3};\end{cases}$$ б) система $$\begin{cases}\log_{\frac{1}{3}}(3x-y)=\log_{\frac{1}{3}}(x+4),\\ \log_{9}(x^2+x-y)=\log_{9}x^2.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_9(x-y)=\frac12,\\ \log_{64}x-\log_{64}y=\frac13. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$x-y=9^{\frac12}=3.$$

Из второго уравнения:

$$\log_{64}\frac{x}{y}=\frac13,\qquad \frac{x}{y}=64^{\frac13}=4.$$

Тогда $$x=4y.$$ Подставим в уравнение $$x-y=3$$:

$$4y-y=3,\qquad 3y=3,\qquad y=1.$$

Следовательно, $$x=4.$$ Проверка области допустимых значений: $$x>0,\ y>0,\ x-y>0$$ — найденная пара подходит.

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_{\frac13}(3x-y)=\log_{\frac13}(x+4),\\ \log_9(x^2+x-y)=\log_9 x^2. \end{cases}$$

Так как логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны их аргументы:

$$\begin{cases} 3x-y=x+4,\\ x^2+x-y=x^2. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем:

$$x-y=0,\qquad y=x.$$

Подставим в первое уравнение:

$$3x-x=x+4,\qquad 2x=x+4,\qquad x=4.$$

Тогда $$y=4.$$ Проверим ОДЗ: $$3x-y>0,\ x+4>0,\ x^2+x-y>0,\ x\neq 0.$$ Для пары $$(4,4)$$ все условия выполняются.

Ответ

а) $$(4;\,1)$$; б) $$(4;\,4)$$.