Упр.44.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\begin{cases}\log_{5}(x+y)=1,\\ \log_{6}x+\log_{6}y=1;\end{cases}$$
• б) $$\begin{cases}\log_{0,5}(x+2y)=\log_{0,5}(3x+y),\\ \log_{7}(x^2-y)=\log_{7}x.\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_5(x+y)=1,\\ \log_6 x+\log_6 y=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем:

$$x+y=5.$$

Из второго уравнения:

$$\log_6 x+\log_6 y=\log_6(xy)=1,$$

значит

$$xy=6.$$

Тогда

$$\begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases}$$

Подставим $$y=5-x$$ во второе уравнение:

$$x(5-x)=6,$$

$$x^2-5x+6=0,$$

$$(x-2)(x-3)=0.$$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=3$$. Тогда

$$y=5-2=3,\qquad y=5-3=2.$$

С учётом области допустимых значений $$x>0,\ y>0$$ получаем решения:

$$(2;3),\ (3;2).$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_{0,5}(x+2y)=\log_{0,5}(3x+y),\\ \log_7(x^2-y)=\log_7 x. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$x+2y=3x+y,$$

$$y=2x.$$

Из второго уравнения:

$$x^2-y=x,$$

$$x^2-x-y=0.$$

Подставим $$y=2x$$:

$$x^2-x-2x=0,$$

$$x^2-3x=0,$$

$$x(x-3)=0.$$

С учётом области допустимых значений $$x>0$$ получаем $$x=3$$. Тогда

$$y=2x=6.$$

Пара $$(0;0)$$ не подходит, так как $$x>0$$.

Итак, решение системы:

$$(3;6).$$

Ответ

а) $$(2;3),\ (3;2)$$; б) $$(3;6)$$.