Упр.44.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$x^{1+\log_3 x}=9$$; б) $$x^{\log_{0,5}x-2}=0,125$$; в) $$x^{5+\log_2 x}=\frac{1}{16}$$; г) $$x^{\log_{\frac{1}{3}}-4}=27$$.

Рассмотрим уравнения по порядку.

а)

$$x^{1+\log_3 x}=9$$

Пусть $$y=\log_3 x$$, тогда $$x=3^y$$. Получаем:

$$(3^y)^{1+y}=9=3^2$$
$$3^{y(1+y)}=3^2$$
$$y^2+y=2$$
$$y^2+y-2=0$$
$$(y+2)(y-1)=0$$
$$y=-2 \text{ или } y=1$$

Тогда

$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9}$$
$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3^1=3$$

б)

$$x^{\log_{0,5}x-2}=0,125$$

Пусть $$y=\log_{0,5}x$$, тогда $$x=(0,5)^y$$. Имеем:

$$\bigl((0,5)^y\bigr)^{y-2}=0,125=(0,5)^3$$
$$(0,5)^{y(y-2)}=(0,5)^3$$
$$y^2-2y=3$$
$$y^2-2y-3=0$$
$$(y+1)(y-3)=0$$
$$y=-1 \text{ или } y=3$$

Тогда

$$\log_{0,5}x=-1 \Rightarrow x=(0,5)^{-1}=2$$
$$\log_{0,5}x=3 \Rightarrow x=(0,5)^3=\frac{1}{8}$$

в)

$$x^{5+\log_2 x}=\frac{1}{16}$$

Пусть $$y=\log_2 x$$, тогда $$x=2^y$$. Получаем:

$$(2^y)^{5+y}=\frac{1}{16}=2^{-4}$$
$$2^{y(5+y)}=2^{-4}$$
$$y^2+5y=-4$$
$$y^2+5y+4=0$$
$$(y+1)(y+4)=0$$
$$y=-1 \text{ или } y=-4$$

Тогда

$$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=2^{-1}=\frac{1}{2}$$
$$\log_2 x=-4 \Rightarrow x=2^{-4}=\frac{1}{16}$$

г)

$$x^{\log_{1/3}x-4}=27$$

Пусть $$y=\log_{1/3}x$$, тогда $$x=\left(\frac13\right)^y$$. Имеем:

$$\left(\left(\frac13\right)^y\right)^{y-4}=27=\left(\frac13\right)^{-3}$$
$$\left(\frac13\right)^{y(y-4)}=\left(\frac13\right)^{-3}$$
$$y^2-4y=-3$$
$$y^2-4y+3=0$$
$$(y-1)(y-3)=0$$
$$y=1 \text{ или } y=3$$

Тогда

$$\log_{1/3}x=1 \Rightarrow x=\left(\frac13\right)^1=\frac13$$
$$\log_{1/3}x=3 \Rightarrow x=\left(\frac13\right)^3=\frac{1}{27}$$

Ответ

а) $$\frac{1}{9},\ 3$$; б) $$\frac{1}{8},\ 2$$; в) $$\frac{1}{16},\ \frac{1}{2}$$; г) $$\frac{1}{27},\ \frac{1}{3}$$.