Упр.44.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$x^{\log_3 x}=81$$; б) $$x^{\log_{0,5} x}=\frac{1}{16}$$; в) $$x^{\log_2 x}=16$$; г) $$x^{\log_{\frac{1}{3}} x}=\frac{1}{81}$$.

Используем свойство:

$$x^{\log_a x}=a^{(\log_a x)^2}, \qquad x>0,\ a>0,\ a\ne 1.$$

1. $$x^{\log_3 x}=81$$

   Пусть $$t=\log_3 x$$, тогда $$x=3^t$$. Получаем:

   $$\left(3^t\right)^t=81$$

   $$3^{t^2}=3^4$$

   $$t^2=4,\qquad t=\pm 2$$

   Тогда

   $$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9,$$

   $$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=\frac{1}{9}.$$

2. $$x^{\log_{0,5} x}=\frac{1}{16}$$

   Пусть $$t=\log_{0,5} x$$, тогда $$x=(0,5)^t$$. Получаем:

   $$\left((0,5)^t\right)^t=\frac{1}{16}$$

   $$0,5^{t^2}=0,5^4$$

   $$t^2=4,\qquad t=\pm 2$$

   Тогда

   $$\log_{0,5} x=2 \Rightarrow x=\frac{1}{4},$$

   $$\log_{0,5} x=-2 \Rightarrow x=4.$$

3. $$x^{\log_2 x}=16$$

   Пусть $$t=\log_2 x$$, тогда $$x=2^t$$. Получаем:

   $$\left(2^t\right)^t=16$$

   $$2^{t^2}=2^4$$

   $$t^2=4,\qquad t=\pm 2$$

   Тогда

   $$\log_2 x=2 \Rightarrow x=4,$$

   $$\log_2 x=-2 \Rightarrow x=\frac{1}{4}.$$

4. $$x^{\log_{1/3} x}=\frac{1}{81}$$

   Пусть $$t=\log_{1/3} x$$, тогда $$x=\left(\frac13\right)^t$$. Получаем:

   $$\left(\left(\frac13\right)^t\right)^t=\frac{1}{81}$$

   $$\left(\frac13\right)^{t^2}=\left(\frac13\right)^4$$

   $$t^2=4,\qquad t=\pm 2$$

   Тогда

   $$\log_{1/3} x=2 \Rightarrow x=\frac{1}{9},$$

   $$\log_{1/3} x=-2 \Rightarrow x=9.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{9},\ 9$$; б) $$\frac{1}{4},\ 4$$; в) $$\frac{1}{4},\ 4$$; г) $$\frac{1}{9},\ 9$$.