Упр.44.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\lg^2 x-\lg x+1=\frac{9}{\lg 10x}$$;
   б) $$\log_3^2 x+3\log_3 x+9=\frac{37}{\log_3\frac{x}{27}}$$;
   в) $$\lg^2 x-2\lg x+4=\frac{9}{\lg 100x}$$;
   г) $$\log_2^2 x+7\log_2 x+49=\frac{-218}{\log_2\frac{x}{128}}$$.

а) Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда $$\lg 10x=1+\lg x=1+y,$$ и уравнение принимает вид

$$y^2-y+1=\frac{9}{1+y}.$$

Умножим на $$1+y$$:

$$(y+1)(y^2-y+1)=9$$

$$y^3+1=9$$

$$y^3=8,\quad y=2.$$

Тогда

$$\lg x=2,\quad x=10^2=100.$$

Ответ: $$100.$$

б) Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда $$\log_3 \frac{x}{27}=y-3,$$ и получаем

$$y^2+3y+9=\frac{37}{y-3}.$$

Умножим на $$y-3$$:

$$(y-3)(y^2+3y+9)=37$$

$$y^3-27=37$$

$$y^3=64,\quad y=4.$$

Тогда

$$\log_3 x=4,\quad x=3^4=81.$$

Ответ: $$81.$$

в) Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда $$\lg 100x=2+\lg x=2+y,$$ и уравнение имеет вид

$$y^2-2y+4=\frac{9}{2+y}.$$

Умножим на $$y+2$$:

$$(y+2)(y^2-2y+4)=9$$

$$y^3+8=9$$

$$y^3=1,\quad y=1.$$

Тогда

$$\lg x=1,\quad x=10.$$

Ответ: $$10.$$

г) Пусть $$y=\log_2 x.$$ Тогда $$\log_2 \frac{x}{128}=y-7,$$ и получаем

$$y^2+7y+49=\frac{-218}{y-7}.$$

Умножим на $$y-7$$:

$$(y-7)(y^2+7y+49)=-218$$

$$y^3-343=-218$$

$$y^3=125,\quad y=5.$$

Тогда

$$\log_2 x=5,\quad x=2^5=32.$$

Ответ: $$32.$$