Упр.44.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_x(2x^2+x-2)=3$$;
   б) $$\log_{x-1}(12x-x^2-19)=3$$.

Используем свойство логарифмов: если $$\log_a b = 3,$$ то $$b=a^3.$$

а)

$$\log_x(2x^2+x-2)=3$$

Тогда

$$2x^2+x-2=x^3.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^3-2x^2-x+2=0.$$

Разложим на множители:

$$x^3-2x^2-x+2=(x^2-1)(x-2)=(x-1)(x+1)(x-2).$$

Получаем корни:

$$x=-1,\quad x=1,\quad x=2.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad 2x^2+x-2>0.$$

Из найденных корней подходит только $$x=2.$$

б)

$$\log_{x-1}(12x-x^2-19)=3$$

Тогда

$$12x-x^2-19=(x-1)^3.$$

Раскроем куб и перенесём всё в одну сторону:

$$12x-x^2-19=x^3-3x^2+3x-1,$$

$$x^3-2x^2-9x+18=0.$$

Разложим на множители:

$$x^3-2x^2-9x+18=(x^2-9)(x-2)=(x-3)(x+3)(x-2).$$

Корни:

$$x=-3,\quad x=2,\quad x=3.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x-1>0,\quad x-1\ne 1,$$

то есть

$$x>1,\quad x\ne 2.$$

Из найденных корней подходит только $$x=3.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$3$$.