Упр.44.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{23}(2x-1)-\log_{23}x=0$$; б) $$\log_{0,5}(4x-1)-\log_{0,5}(7x-3)=1$$; в) $$\log_{3,4}(x^2-5x+8)-\log_{3,4}x=0$$; г) $$\log_{\frac{1}{2}}(x+9)-\log_{\frac{1}{2}}(8-3x)=2$$.

а) $$\log_{23}(2x-1)-\log_{23}x=0$$

ОДЗ: $$2x-1>0,\quad x>0.$$

Тогда

$$\log_{23}(2x-1)=\log_{23}x$$

Следовательно,

$$2x-1=x,$$

$$x=1.$$

Проверка ОДЗ: $$1>0,$$ значит, корень подходит.

Ответ: $$1.$$

б) $$\log_{0,5}(4x-1)-\log_{0,5}(7x-3)=1$$

ОДЗ: $$4x-1>0,\quad 7x-3>0.$$

Используем свойство логарифмов:

$$\log_{0,5}(4x-1)=1+\log_{0,5}(7x-3)=\log_{0,5}0,5+\log_{0,5}(7x-3)=\log_{0,5}\bigl(0,5(7x-3)\bigr).$$

Тогда

$$4x-1=0,5(7x-3),$$

$$4x-1=3,5x-1,5,$$

$$0,5x=-0,5,$$

$$x=-1.$$

Но $$-1$$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

в) $$\log_{3,4}(x^2-5x+8)-\log_{3,4}x=0$$

ОДЗ: $$x^2-5x+8>0,\quad x>0.$$

Тогда

$$\log_{3,4}(x^2-5x+8)=\log_{3,4}x,$$

следовательно,

$$x^2-5x+8=x.$$

Получаем

$$x^2-6x+8=0,$$

$$\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0.$$

Отсюда

$$x=2 \quad \text{или} \quad x=4.$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $$2;\ 4.$$

г) $$\log_{1/2}(x+9)-\log_{1/2}(8-3x)=2$$

ОДЗ: $$x+9>0,\quad 8-3x>0.$$

Используем свойство логарифмов:

$$\log_{1/2}(x+9)=2+\log_{1/2}(8-3x)=\log_{1/2}\frac14+\log_{1/2}(8-3x)=\log_{1/2}\left(\frac14(8-3x)\right).$$

Тогда

$$x+9=\frac14(8-3x),$$

$$4x+36=8-3x,$$

$$7x=-28,$$

$$x=-4.$$

Проверка ОДЗ: $$-4>-9$$ и $$8-3(-4)=20>0,$$ значит, корень подходит.

Ответ: $$-4.$$