Упр.43.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\right)+\frac{1}{3}\log_4\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right)+\log_4\left(\sin\frac{7\pi}{12}\right)$$
б) $$\frac{1}{2}\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)^2-\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)^{-1}$$

Подробный ответ

а) Используем свойства логарифмов:

$$\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\right)+\frac13\log_4\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right)+\log_4\left(\sin\frac{7\pi}{12}\right)$$

$$=\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\right)+\log_4\left(\sin\frac{13\pi}{6}\right)+\log_4\left(\sin\frac{7\pi}{12}\right)$$

Так как $$\sin\frac{13\pi}{6}=\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ а также $$\sin\frac{7\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12}\right)=\cos\frac{\pi}{12},$$ то

$$=\log_4\left(\sin\frac{\pi}{12}\cdot \frac12 \cdot \cos\frac{\pi}{12}\right) =\log_4\left(\frac12\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}\right).$$

По формуле $$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x$$ получаем:

$$\frac12\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} =\frac14\sin\frac{\pi}{6} =\frac14\cdot\frac12 =\frac18.$$

Тогда

$$\log_4\frac18=\log_4 2^{-3}=-\frac32.$$

Ответ: $$-\frac32$$.

б) Преобразуем выражение:

$$\frac12\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)^2-\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)^{-1}$$

$$=\log_8\left|\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right|-\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)^{-1}$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{8}>\sin\frac{\pi}{8},$$ модуль можно убрать:

$$=\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{8}\right)+\log_8\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right).$$

Сложим логарифмы: