Упр.43.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_3\left(2\tan\frac{\pi}{8}\right)-\log_3\left(1-\tan^2\frac{\pi}{8}\right)$$
2. б) $$\log_{\sqrt{3}}\left(\tan\frac{\pi}{19}\right)+\log_{\sqrt{3}}\left(\cot\frac{\pi}{19}\right)$$
3. в) $$\log_{\frac{1}{3}}\left(2\tan\frac{\pi}{6}\right)+\log_{\frac{1}{3}}\left(1-\tan^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1}$$
4. г) $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\tan\frac{\pi}{7}\right)+\log_{\frac{1}{2}}\left(\tan\frac{5\pi}{14}\right)$$

Используем свойства логарифмов и формулы тригонометрии.

1. $$\log_3\!\left(2\tg\frac{\pi}{8}\right)-\log_3\!\left(1-\tg^2\frac{\pi}{8}\right) =\log_3\!\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}}.$$

   По формуле двойного угла:
   $$\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=\tg 2x,$$
   значит
   $$\log_3\!\frac{2\tg\frac{\pi}{8}}{1-\tg^2\frac{\pi}{8}} =\log_3\tg\frac{\pi}{4} =\log_3 1=0.$$

2. $$\log_{\sqrt3}\!\left(\tg\frac{\pi}{19}\right)+\log_{\sqrt3}\!\left(\ctg\frac{\pi}{19}\right) =\log_{\sqrt3}\!\left(\tg\frac{\pi}{19}\cdot\ctg\frac{\pi}{19}\right).$$

   Так как $$\tg x\cdot\ctg x=1,$$ получаем
   $$\log_{\sqrt3}1=0.$$

3. $$\log_{\frac13}\!\left(2\tg\frac{\pi}{6}\right)+\log_{\frac13}\!\left(1-\tg^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1}$$
   $$=\log_{\frac13}\!\left(2\tg\frac{\pi}{6}\right)-\log_{\frac13}\!\left(1-\tg^2\frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда
   $$\log_{\frac13}\!\frac{2\tg\frac{\pi}{6}}{1-\tg^2\frac{\pi}{6}} =\log_{\frac13}\tg\frac{\pi}{3} =\log_{\frac13}\sqrt3.$$

   Так как $$\sqrt3=\left(\frac13\right)^{-\frac12},$$ то
   $$\log_{\frac13}\sqrt3=-\frac12.$$

4. $$\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\right)+\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{5\pi}{14}\right) =\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\cdot\tg\frac{5\pi}{14}\right).$$

   Заметим, что
   $$\frac{5\pi}{14}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7},$$
   поэтому
   $$\tg\frac{5\pi}{14}=\ctg\frac{\pi}{7}.$$
   Тогда
   $$\log_{\frac12}\!\left(\tg\frac{\pi}{7}\cdot\ctg\frac{\pi}{7}\right) =\log_{\frac12}1=0.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$0$$; в) $$-\frac12$$; г) $$0$$.