Упр.43.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$\log_{\frac{1}{2}} 7=c$$ и $$\log_{\frac{1}{2}} 3=a$$. Выразите через $$c$$ и $$a$$:
   а) $$\log_{\frac{1}{2}} 21$$;
   б) $$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42}$$;
   в) $$\log_{\frac{1}{2}} 147$$;
   г) $$\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}}$$.

Пусть $$\log_{\frac12} 7=c$$ и $$\log_{\frac12} 3=a.$$ Используем свойства логарифмов.

1. $$\log_{\frac12} 21=\log_{\frac12}(7\cdot 3)=\log_{\frac12} 7+\log_{\frac12} 3=c+a.$$

2. $$\log_{\frac12}\frac{1}{42}=\log_{\frac12}\frac{1}{2\cdot 7\cdot 3}=\log_{\frac12}1-\log_{\frac12}2-\log_{\frac12}7-\log_{\frac12}3.$$

   Так как $$\log_{\frac12}1=0$$ и $$\log_{\frac12}2=-1,$$ получаем

   $$\log_{\frac12}\frac{1}{42}=0-(-1)-c-a=1-c-a.$$

3. $$\log_{\frac12} 147=\log_{\frac12}(49\cdot 3)=\log_{\frac12}(7^2\cdot 3)=\log_{\frac12}7^2+\log_{\frac12}3=2\log_{\frac12}7+\log_{\frac12}3=2c+a.$$

4. $$\log_{\frac12}\frac{49}{\sqrt{3}}=\log_{\frac12}\left(7^2\cdot 3^{-\frac12}\right)=\log_{\frac12}7^2-\log_{\frac12}3^{\frac12}.$$

   Тогда

   $$\log_{\frac12}\frac{49}{\sqrt{3}}=2\log_{\frac12}7-\frac12\log_{\frac12}3=2c-\frac12 a.$$

Ответ: а) $$c+a$$; б) $$1-c-a$$; в) $$2c+a$$; г) $$2c-\frac12 a$$.