Упр.43.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Прологарифмируйте по основанию $$5$$:
   а) $$\frac{125a^4}{b^4}$$;
   б) $$\frac{625(\sqrt{a}b)^3}{c^{1/2}}$$;
   в) $$\frac{25\sqrt[5]{a^6b^7}}{c^3}$$;
   г) $$\left(\frac{a^6}{\sqrt[5]{b^2}}\right)^{-3}$$.

а) $$\log_5\frac{125a^4}{b^4}=\log_5 125+\log_5 a^4-\log_5 b^4.$$

Так как $$125=5^3,$$ то

$$\log_5\frac{125a^4}{b^4}=3+4\log_5 a-4\log_5 b.$$

Ответ: $$3+4\log_5 a-4\log_5 b.$$

б) $$\log_5\frac{625(\sqrt{ab})^3}{c^{1/2}}=\log_5 625+\log_5(\sqrt{ab})^3-\log_5 c^{1/2}.$$

Преобразуем степени:

$$625=5^4,\qquad (\sqrt{ab})^3=(ab)^{3/2}=a^{3/2}b^{3/2}.$$

Тогда

$$\log_5\frac{625(\sqrt{ab})^3}{c^{1/2}}=4+\frac{3}{2}\log_5 a+\frac{3}{2}\log_5 b-\frac{1}{2}\log_5 c.$$

Ответ: $$4+\frac{3}{2}\log_5 a+\frac{3}{2}\log_5 b-\frac{1}{2}\log_5 c.$$

в) $$\log_5\frac{25\sqrt5\,a^6b^7}{c^3}=\log_5 25+\log_5\sqrt5+\log_5 a^6+\log_5 b^7-\log_5 c^3.$$

Так как $$25=5^2,\qquad \sqrt5=5^{1/2},$$ получаем

$$\log_5\frac{25\sqrt5\,a^6b^7}{c^3}=2+\frac12+6\log_5 a+7\log_5 b-3\log_5 c.$$

Следовательно,

$$\log_5\frac{25\sqrt5\,a^6b^7}{c^3}=\frac52+6\log_5 a+7\log_5 b-3\log_5 c.$$

Ответ: $$\frac52+6\log_5 a+7\log_5 b-3\log_5 c.$$

г) $$\log_5\left(\frac{a^6}{\sqrt[3]{b^2}}\right)^{-3}.$$

Сначала упростим выражение под логарифмом:

$$\left(\frac{a^6}{\sqrt[3]{b^2}}\right)^{-3}=\left(a^6\cdot b^{-2/3}\right)^{-3}=a^{-18}b^2.$$

Тогда

$$\log_5\left(\frac{a^6}{\sqrt[3]{b^2}}\right)^{-3}=\log_5(a^{-18}b^2)=-18\log_5 a+2\log_5 b.$$

Ответ: $$-18\log_5 a+2\log_5 b.$$