Упр.43.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{\frac{1}{2}\log_3 64-2\log_3 2}{\log_3 2}$$; б) $$\frac{\log_6 12+2\log_6 2}{\frac{1}{3}\log_6 27+4\log_6 2}$$

а)

$$\frac{\frac12\log_3 64-2\log_3 2}{\log_3 2}=\frac{\log_3 64^{1/2}-\log_3 2^2}{\log_3 2}=\frac{\log_3 8-\log_3 4}{\log_3 2}=\frac{\log_3 \frac84}{\log_3 2}=\frac{\log_3 2}{\log_3 2}=1.$$

Ответ: $$1$$

б)

$$\frac{\log_6 12+2\log_6 2}{\frac13\log_6 27+4\log_6 2}=\frac{\log_6 12+\log_6 2^2}{\log_6 27^{1/3}+\log_6 2^4}=\frac{\log_6 12+\log_6 4}{\log_6 3+\log_6 16}=\frac{\log_6 48}{\log_6 48}=1.$$

Ответ: $$1$$

в)

$$\frac{2\log_{0,5}2+\log_{0,5}\sqrt{10}}{\log_{0,5}10-\log_{0,5}\sqrt{10}+\log_{0,5}4}=\frac{\log_{0,5}2^2+\log_{0,5}10^{1/2}}{\log_{0,5}10-\log_{0,5}10^{1/2}+\log_{0,5}4}=\frac{\log_{0,5}4+\log_{0,5}\sqrt{10}}{\log_{0,5}4-\log_{0,5}\sqrt{10}}.$$

Объединим логарифмы:

$$\frac{\log_{0,5}(4\sqrt{10})}{\log_{0,5}\left(\frac{4}{\sqrt{10}}\right)}=\frac{\log_{0,5}(4\sqrt{10})}{\log_{0,5}\left(\frac{4\sqrt{10}}{10}\right)}=\frac{\log_{0,5}(4\sqrt{10})}{\log_{0,5}(4\sqrt{10})}=1.$$

Ответ: $$1$$

г)

$$\frac{\log_{0,3}16}{\log_{0,3}15-\log_{0,3}30}=\frac{\log_{0,3}16}{\log_{0,3}\frac{15}{30}}=\frac{\log_{0,3}16}{\log_{0,3}\frac12}.$$

Так как $$\frac12=0,5=(0,3)^{-1}\cdot 0,15$$, удобнее заметить, что

$$\log_{0,3}\frac12=\log_{0,3}(0,3)^{-1}=-1,$$

а также $$16=2^4$$, поэтому

$$\frac{\log_{0,3}16}{\log_{0,3}\frac12}=\frac{\log_{0,3}2^4}{\log_{0,3}2^{-1}}=\frac{4\log_{0,3}2}{-\log_{0,3}2}=-4.$$

Ответ: $$-4$$