Упр.43.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\log_{\frac{1}{2}}4\cdot\frac{\log_3 9}{\log_4\frac{1}{4}}$$
• б) $$\frac{\log_{\sqrt{3}}(3\sqrt{3})}{\log_{\frac{1}{7}}\sqrt{49}}\cdot\log_5\sqrt{5}$$
• в) $$\frac{\log_3 81}{\log_{0,5}2}\cdot\log_5 125$$
• г) $$\log_{\sqrt{5}}(5\sqrt{5})\cdot\frac{\log_{0,3}\sqrt{0,3}}{\lg(10\sqrt{0,1})}$$

а) $$\log_{\frac12}4\cdot \log_3 9:\log_4\frac14$$

$$\log_{\frac12}4=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-2}=-2,\qquad \log_3 9=\log_3 3^2=2,\qquad \log_4\frac14=\log_4 4^{-1}=-1.$$

Тогда

$$\log_{\frac12}4\cdot \log_3 9:\log_4\frac14=\frac{-2\cdot 2}{-1}=4.$$

б) $$\log_{\sqrt3}(3\sqrt3):\log_{\frac17}\sqrt{49}\cdot \log_5\sqrt5$$

$$3\sqrt3=3^{3/2}=(\sqrt3)^3,\qquad \sqrt{49}=7,\qquad \sqrt5=5^{1/2}.$$

Следовательно,

$$\log_{\sqrt3}(3\sqrt3)=3,\qquad \log_{\frac17}\sqrt{49}=\log_{\frac17}7=-1,\qquad \log_5\sqrt5=\frac12.$$

Тогда

$$\log_{\sqrt3}(3\sqrt3):\log_{\frac17}\sqrt{49}\cdot \log_5\sqrt5=\frac{3}{-1}\cdot \frac12=-1{,}5.$$

в) $$\log_3 81:\log_{0{,}5}2\cdot \log_5 125$$

$$81=3^4,\qquad 2=\left(\frac12\right)^{-1},\qquad 125=5^3.$$

Значит,

$$\log_3 81=4,\qquad \log_{0{,}5}2=\log_{\frac12}2=-1,\qquad \log_5 125=3.$$

Тогда

$$\log_3 81:\log_{0{,}5}2\cdot \log_5 125=\frac{4}{-1}\cdot 3=-12.$$

г) $$\log_{\sqrt5}(5\sqrt5)\cdot \log_{0{,}3}\sqrt{0{,}3}:\lg\left(10\sqrt{0{,}1}\right)$$

$$5\sqrt5=5^{3/2}=(\sqrt5)^3,\qquad \sqrt{0{,}3}=0{,}3^{1/2},\qquad 10\sqrt{0{,}1}=10\cdot 10^{-1/2}=10^{1/2}=\sqrt{10}.$$

Тогда

$$\log_{\sqrt5}(5\sqrt5)=3,\qquad \log_{0{,}3}\sqrt{0{,}3}=\frac12,\qquad \lg\left(10\sqrt{0{,}1}\right)=\lg\sqrt{10}=\frac12.$$

Следовательно,

$$\log_{\sqrt5}(5\sqrt5)\cdot \log_{0{,}3}\sqrt{0{,}3}:\lg\left(10\sqrt{0{,}1}\right)=\frac{3\cdot \frac12}{\frac12}=3.$$

Ответ: а) $$4$$; б) $$-1{,}5$$; в) $$-12$$; г) $$3$$.