Упр.42.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите, на каком промежутке функция $$y=\log_3 x$$ принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее, равное −2.

   б) Найдите, на каком промежутке функция $$y=\log_{0,5} x$$ принимает наибольшее значение, равное −1, и наименьшее, равное −3.

а) Так как $$3>1,$$ функция $$y=\log_3 x$$ возрастает. Поэтому значения функции на промежутке задаются неравенством

$$-2\le \log_3 x\le 4.$$

Возводим основание 3 в соответствующие степени:

$$3^{-2}\le x\le 3^4,$$

$$\frac{1}{9}\le x\le 81.$$

Следовательно, искомый промежуток:

$$x\in\left[\frac{1}{9};\,81\right].$$

б) Так как $$0{,}5<1,$$ функция $$y=\log_{0{,}5}x$$ убывает. Тогда для наибольшего значения $$-1$$ и наименьшего $$-3$$ получаем

$$-3\le \log_{0{,}5}x\le -1.$$

Переходим к показательной форме:

$$0{,}5^{-3}\le x\le 0{,}5^{-1},$$

$$8\le x\le 2.$$

Так как функция убывает, левая и правая границы меняются местами, поэтому

$$2\le x\le 8.$$

Итак, искомый промежуток:

$$x\in[2;\,8].$$

Ответ: а) $$\left[\frac{1}{9};\,81\right]$$; б) $$[2;\,8].$$