Упр.42.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сравните числа: а) $$\log_4 7$$ и $$\log_4 23$$; б) $$\log_{\frac{2}{3}} 0{,}8$$ и $$\log_{\frac{2}{3}} 1$$; в) $$\log_9 \sqrt{15}$$ и $$\log_9 13$$; г) $$\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7}$$ и $$\log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$$.

Сравним числа, учитывая монотонность логарифмической функции.

1. $$\log_4 7 \text{ и } \log_4 23$$

   Так как $$4>1,$$ функция $$y=\log_4 x$$ возрастает. Поскольку $$7<23,$$ то

   $$\log_4 7<\log_4 23.$$

2. $$\log_{\frac23} 0{,}8 \text{ и } \log_{\frac23} 1$$

   Так как $$0<\frac23<1,$$ функция $$y=\log_{\frac23} x$$ убывает. Поскольку $$0{,}8<1,$$ то

   $$\log_{\frac23} 0{,}8>\log_{\frac23} 1.$$

3. $$\log_9 \sqrt{15} \text{ и } \log_9 13$$

   Так как $$9>1,$$ функция $$y=\log_9 x$$ возрастает. Сравним аргументы:

   $$\sqrt{15}<13,$$

   значит,

   $$\log_9 \sqrt{15}<\log_9 13.$$

4. $$\log_{\frac{1}{12}} \frac17 \text{ и } \log_{\frac{1}{12}} \frac23$$

   Так как $$0<\frac{1}{12}<1,$$ функция $$y=\log_{\frac{1}{12}} x$$ убывает. Поскольку $$\frac17<\frac23,$$ то

   $$\log_{\frac{1}{12}} \frac17>\log_{\frac{1}{12}} \frac23.$$

Ответ: $$\log_4 7<\log_4 23,$$ $$\log_{\frac23} 0{,}8>\log_{\frac23} 1,$$ $$\log_9 \sqrt{15}<\log_9 13,$$ $$\log_{\frac{1}{12}} \frac17>\log_{\frac{1}{12}} \frac23.$$