Упр.42.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$x$$ график заданной логарифмической функции лежит ниже графика заданной линейной функции:
а) $$y=\log_4(x-1),\quad y=-x+2$$;
б) $$y=\log_{\frac{1}{2}}(x+4),\quad y=3x-2$$?

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$y=\log_4(x-1)$$ и $$y=-x+2.$$

Область определения логарифмической функции: $$x-1>0,$$ то есть $$x>1.$$

Так как основание $$4>1,$$ функция $$y=\log_4(x-1)$$ возрастает, а функция $$y=-x+2$$ убывает. Значит, они пересекаются не более чем в одной точке.

Найдём точку пересечения:

$$\log_4(x-1)=-x+2.$$

Проверим значение $$x=2$$:

$$\log_4(2-1)=\log_4 1=0,$$

$$-2+2=0.$$

Следовательно, графики пересекаются в точке $$x=2.$$

Так как при $$x\to 1+$$ имеем $$\log_4(x-1)\to -\infty,$$ а прямая выше, то логарифмическая функция лежит ниже линейной при

$$x\in(1;2).$$

б) Рассмотрим функции $$y=\log_{\frac12}(x+4)$$ и $$y=3x-2.$$

Область определения: $$x+4>0,$$ то есть $$x>-4.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ функция $$y=\log_{\frac12}(x+4)$$ убывает, а функция $$y=3x-2$$ возрастает. Значит, они пересекаются не более чем в одной точке.

Найдём точку пересечения:

$$\log_{\frac12}(x+4)=3x-2.$$

Проверим значение $$x=0$$:

$$\log_{\frac12}(0+4)=\log_{\frac12}4=-2,$$

$$3\cdot 0-2=-2.$$

Следовательно, графики пересекаются в точке $$x=0.$$

При $$x>0$$ прямая расположена выше графика логарифмической функции, поэтому искомое неравенство выполняется при

$$x\in(0;+\infty).$$