Упр.42.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях аргумента график заданной логарифмической функции лежит выше графика заданной линейной функции: а) $$y=\log_2 x$$, $$y=-x+1$$; б) $$y=\log_{0.5}x$$, $$y=x-1$$; в) $$y=\log_{\frac{1}{3}}x$$, $$y=7x$$; г) $$y=\log_3x$$, $$y=-3x$$?

Сравним значения функций на области определения $$x>0$$.

1. $$y=\log_2 x,\quad y=-x+1.$$

   Решим неравенство

   $$\log_2 x>-x+1.$$

   При $$x=1$$ имеем

   $$\log_2 1=0,\qquad -1+1=0.$$

   Так как $$\log_2 x$$ возрастает, а $$-x+1$$ убывает, то при $$x>1$$ логарифмическая функция лежит выше линейной.

   Ответ: $$x\in(1;+\infty).$$

2. $$y=\log_{0{,}5} x,\quad y=x-1.$$

   Решим неравенство

   $$\log_{0{,}5} x>x-1.$$

   При $$x=1$$ имеем

   $$\log_{0{,}5} 1=0,\qquad 1-1=0.$$

   Функция $$y=\log_{0{,}5} x$$ убывает, а $$y=x-1$$ возрастает, значит выше график логарифмической функции при $$0<x<1$$.

   Ответ: $$x\in(0;1).$$

3. $$y=\log_{\frac17} x,\quad y=7x.$$

   Решим неравенство

   $$\log_{\frac17} x>7x.$$

   При $$x=\frac17$$ имеем

   $$\log_{\frac17}\frac17=1,\qquad 7\cdot\frac17=1.$$

   Функция $$y=\log_{\frac17} x$$ убывает, а $$y=7x$$ возрастает, поэтому логарифмическая функция выше линейной при $$0<x<\frac17$$.

   Ответ: $$x\in\left(0;\frac17\right).$$

4. $$y=\log_3 x,\quad y=-3x.$$

   Решим неравенство

   $$\log_3 x>-3x.$$

   При $$x=\frac13$$ имеем

   $$\log_3\frac13=-1,\qquad -3\cdot\frac13=-1.$$

   Так как $$\log_3 x$$ возрастает, а $$-3x$$ убывает, то при $$x>\frac13$$ график логарифмической функции лежит выше графика линейной функции.

   Ответ: $$x\in\left(\frac13;+\infty\right).$$