Упр.42.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$\log_3 x < 4-x$$; б) $$\log_{\frac{1}{2}} x < x+\frac{1}{2}$$; в) $$\log_5 x \geq 6-x$$; г) $$\log_{\frac{1}{3}} x > x+\frac{2}{3}$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$\log_3 x \le 4-x$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Функция $$y=\log_3 x$$ возрастает, а функция $$y=4-x$$ убывает. Значит, они пересекаются в одной точке.

   Проверим $$x=3$$:

   $$\log_3 3=1,\qquad 4-3=1.$$

   При $$0<x\le 3$$ выполняется неравенство.

   Ответ: $$x\in(0;3].$$

2. $$\log_{\frac12} x<x+\frac12$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Функция $$y=\log_{\frac12}x$$ убывает, а функция $$y=x+\frac12$$ возрастает. Найдём точку пересечения:

   $$\log_{\frac12}\frac12=1,\qquad \frac12+\frac12=1.$$

   Следовательно, неравенство выполняется при $$x>\frac12.$$

   Ответ: $$x\in\left(\frac12;+\infty\right).$$

3. $$\log_5 x\ge 6-x$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Функция $$y=\log_5 x$$ возрастает, а функция $$y=6-x$$ убывает. Проверим $$x=5$$:

   $$\log_5 5=1,\qquad 6-5=1.$$

   Значит, решение:

   Ответ: $$x\in[5;+\infty).$$

4. $$\log_{\frac13} x>x+\frac23$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Функция $$y=\log_{\frac13}x$$ убывает, а функция $$y=x+\frac23$$ возрастает. Найдём точку пересечения:

   $$\log_{\frac13}\frac13=1,\qquad \frac13+\frac23=1.$$

   Следовательно, неравенство выполняется при $$0<x<\frac13.$$

   Ответ: $$x\in\left(0;\frac13\right).$$