Упр.42.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите графически неравенство:
   а) $$\log_2 x \geq -x+1$$;
   б) $$\log_{\frac{3}{7}} x > 4x-4$$;
   в) $$\log_9 x \leq -x+1$$;
   г) $$\log_{\frac{1}{3}} x < 2x-2$$.

Рассмотрим каждое неравенство графически.

1. $$\log_2 x \ge -x+1$$

   Графики функций $$y=\log_2 x$$ и $$y=-x+1$$ пересекаются в точке $$x=1$$. При $$x\ge 1$$ график логарифмической функции расположен не ниже прямой.

   Следовательно, $$x\in[1;+\infty).$$

2. $$\log_{\frac{3}{7}} x > 4x-4$$

   Графики $$y=\log_{\frac{3}{7}}x$$ и $$y=4x-4$$ пересекаются при $$x=1$$. Так как основание логарифма $$\frac{3}{7}<1$$, функция убывает, и неравенство выполняется при

   $$0<x<1.$$

3. $$\log_9 x \le -x+1$$

   Графики $$y=\log_9 x$$ и $$y=-x+1$$ пересекаются в точке $$x=1$$. При $$0<x\le 1$$ график логарифмической функции не выше прямой.

   Значит, $$x\in(0;1].$$

4. $$\log_{\frac{1}{3}} x < 2x-2$$

   Графики $$y=\log_{\frac{1}{3}}x$$ и $$y=2x-2$$ пересекаются при $$x=1$$. Поскольку основание $$\frac{1}{3}<1$$, логарифмическая функция убывает, и неравенство выполняется при

   $$x>1.$$

Ответ: а) $$x\in[1;+\infty)$$; б) $$x\in(0;1)$$; в) $$x\in(0;1]$$; г) $$x\in(1;+\infty).$$