Упр.42.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_9 x\leq -1$$; б) $$\log_{\frac{1}{3}}x<-4$$; в) $$\log_5 x\geq -2$$; г) $$\log_{0,2}x>-3$$.

Рассмотрим каждое неравенство, учитывая область определения логарифма и монотонность логарифмической функции.

1. $$\log_9 x \le -1$$

   Так как $$9>1,$$ функция $$\log_9 x$$ возрастает, поэтому

   $$x \le 9^{-1}=\frac{1}{9}.$$

   С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

   $$0<x\le \frac{1}{9}.$$

2. $$\log_{\frac13} x<-4$$

   Так как $$0<\frac13<1,$$ функция $$\log_{\frac13} x$$ убывает, значит знак неравенства меняется:

   $$x>\left(\frac13\right)^{-4}=81.$$

   С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

   $$x>81.$$

3. $$\log_5 x\ge -2$$

   Так как $$5>1,$$ функция $$\log_5 x$$ возрастает, поэтому

   $$x\ge 5^{-2}=\frac{1}{25}.$$

   С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

   $$x\in \left[\frac{1}{25};+\infty\right).$$

4. $$\log_{0,2} x>-3$$

   Так как $$0<0,2<1,$$ функция $$\log_{0,2} x$$ убывает, значит знак неравенства меняется:

   $$x<0,2^{-3}=125.$$

   С учётом области определения $$x>0$$ получаем:

   $$0<x<125.$$

Ответ

а) $$x\in \left(0;\frac{1}{9}\right];$$ б) $$x>81;$$ в) $$x\in \left[\frac{1}{25};+\infty\right);$$ г) $$x\in (0;125).$$