Упр.42.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Решите неравенство: а) $$\log_6 x \geq 2$$; б) $$\log_{0,1} x > 3$$; в) $$\log_9 x \leq \frac{1}{2}$$; г) $$\log_{\frac{4}{5}} x < 3$$.
а) Так как основание логарифма $$6>1,$$ функция $$y=\log_6 x$$ возрастает. Тогда из неравенства
$$\log_6 x \ge 2$$
получаем
$$x \ge 6^2=36.$$
С учётом области определения $$x>0$$ имеем:
$$x \in [36;+\infty).$$
б) Так как $$0{,}1<1,$$ функция $$y=\log_{0{,}1} x$$ убывает. Поэтому из неравенства
$$\log_{0{,}1} x>3$$
следует
$$x<0{,}1^3=0{,}001.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
$$x \in (0;0{,}001).$$
в) Так как $$9>1,$$ функция $$y=\log_9 x$$ возрастает. Тогда из неравенства
$$\log_9 x \le \frac12$$
получаем
$$x \le 9^{1/2}=3.$$
С учётом области определения $$x>0$$ имеем:
$$x \in (0;3].$$
г) Так как $$\frac45<1,$$ функция $$y=\log_{\frac45} x$$ убывает. Поэтому из неравенства
$$\log_{\frac45} x<3$$
следует
$$x>\left(\frac45\right)^3=\frac{64}{125}.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем:
$$x \in \left(\frac{64}{125};+\infty\right).$$
Ответ
а) $$x \in [36;+\infty);$$ б) $$x \in (0;0{,}001);$$ в) $$x \in (0;3];$$ г) $$x \in \left(\frac{64}{125};+\infty\right).$$
