Упр.42.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- а) $$\log_3 x=4-x$$; б) $$\log_{\frac{1}{2}}x=x+\frac{1}{2}$$; в) $$\log_5 x=6-x$$; г) $$\log_{\frac{1}{3}}x=x+\frac{2}{3}$$.
а) Рассмотрим уравнение $$\log_3 x=4-x.$$
Функция $$y=\log_3 x$$ возрастает при $$x>0,$$ а функция $$y=4-x$$ убывает при $$x>0.$$ Значит, графики могут пересечься не более чем в одной точке.
Проверим значение $$x=3$$:
$$\log_3 3=1,\qquad 4-3=1.$$
Следовательно, $$x=3.$$
б) Рассмотрим уравнение $$\log_{\frac12} x=x+\frac12.$$
Функция $$y=\log_{\frac12} x$$ убывает при $$x>0,$$ а функция $$y=x+\frac12$$ возрастает при $$x>0.$$ Значит, решение может быть только одно.
Проверим значение $$x=\frac12$$:
$$\log_{\frac12}\frac12=1,\qquad \frac12+\frac12=1.$$
Следовательно, $$x=\frac12.$$
в) Рассмотрим уравнение $$\log_5 x=6-x.$$
Функция $$y=\log_5 x$$ возрастает при $$x>0,$$ а функция $$y=6-x$$ убывает при $$x>0.$$ Поэтому пересечение единственно.
Проверим значение $$x=5$$:
$$\log_5 5=1,\qquad 6-5=1.$$
Следовательно, $$x=5.$$
г) Рассмотрим уравнение $$\log_{\frac13} x=x+\frac23.$$
Функция $$y=\log_{\frac13} x$$ убывает при $$x>0,$$ а функция $$y=x+\frac23$$ возрастает при $$x>0.$$ Значит, решение единственно.
Проверим значение $$x=\frac13$$:
$$\log_{\frac13}\frac13=1,\qquad \frac13+\frac23=1.$$
Следовательно, $$x=\frac13.$$
Ответ: а) $$3$$; б) $$\frac12$$; в) $$5$$; г) $$\frac13$$.
