Упр.42.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Постройте и прочитайте график функции:

а) $$y=\begin{cases}-4x+4, & x<1,\\ \log_{2}x, & x\geqslant1.\end{cases}$$

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию

$$y=\begin{cases} -4x+4, & x<1,\\ \log_2 x, & x\ge 1. \end{cases}$$

Для первой части построим прямую $$y=-4x+4$$. Она проходит через точки $$\left(0;4\right)$$ и $$\left(1;0\right)$$, но точка $$\left(1;0\right)$$ не входит в график этой части, так как здесь $$x<1$$.

Для второй части построим график функции $$y=\log_2 x$$. Он проходит через точки $$\left(1;0\right)$$, $$\left(2;1\right)$$, $$\left(4;2\right)$$, $$\left(8;3\right)$$. Точка $$\left(1;0\right)$$ входит в график, так как здесь $$x\ge 1$$.

Итак, график функции состоит из луча прямой при $$x<1$$ и ветви логарифмической функции при $$x\ge 1$$. Функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$, наименьшее значение равно $$0$$ и достигается при $$x=1$$.

б) Рассмотрим функцию

$$y=\begin{cases} -(x-4)^2, & x<5,\\ \log_{0,2}x, & x\ge 5. \end{cases}$$

Первая часть — парабола $$y=-(x-4)^2$$ с вершиной $$\left(4;0\right)$$. Для построения можно взять точки $$\left(1;-9\right)$$, $$\left(2;-4\right)$$, $$\left(3;-1\right)$$, $$\left(5;-1\right)$$.

Вторая часть — логарифмическая функция с основанием $$0{,}2$$. Она проходит через точки $$\left(5;-1\right)$$ и $$\left(25;-2\right)$$.

График функции состоит из ветви параболы при $$x<5$$ и ветви логарифмической функции при $$x\ge 5$$. Функция возрастает на $$(-\infty;4]$$ и убывает на $$[4;+\infty)$$, наибольшее значение равно $$0$$ и достигается при $$x=4$$.

в) Рассмотрим функцию

$$y=\begin{cases} \log_2 x, & 0<x<2,\\ \left(\dfrac12\right)^x, & x\ge 2. \end{cases}$$

Первая часть — график $$y=\log_2 x$$ на промежутке $$0<x<2$$. Он проходит через точки $$\left(1;0\right)$$ и стремится к точке $$\left(2;1\right)$$, но эта точка не входит в график первой части.

Вторая часть — график $$y=\left(\dfrac12\right)^x$$ при $$x\ge 2$$. Он проходит через точку $$\left(2;\dfrac14\right)$$, а при увеличении $$x$$ убывает к нулю.

Функция определена при $$x>0$$, имеет разрыв при $$x=2$$, возрастает на $$\left(0;2\right)$$ и убывает на $$[2;+\infty)$$. Множество значений: $$(-\infty;1)$$.

г) Рассмотрим функцию

$$y=\begin{cases} \dfrac1x, & x<0,\\ \log_{\sqrt2}x, & x>0. \end{cases}$$

Первая часть — ветвь гиперболы $$y=\dfrac1x$$ при $$x<0$$. Вторая часть — график $$y=\log_{\sqrt2}x$$ при $$x>0$$.

Функция определена при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, имеет разрыв при $$x=0$$, убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$\left(0;+\infty\right)$$. Множество значений: $$(-\infty;+\infty)$$.