Упр.42.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте (схематично) график функции: а) $$y=\log_{\sqrt{3}}x$$; б) $$y=\log_{\frac{1}{\pi}}x$$; в) $$y=\lg x$$; г) $$y=\log_{0,2}x$$.

Для всех данных функций область определения одна и та же: $$x>0.$$ Графики логарифмических функций проходят через точку $$\left(1;0\right)$$ и имеют вертикальную асимптоту $$x=0.$$

а)

$$y=\log_{\sqrt{3}}x$$

Так как $$\sqrt{3}>1,$$ функция возрастает на области определения.

Опорные точки:

$$\log_{\sqrt{3}}1=0,\qquad \log_{\sqrt{3}}\sqrt{3}=1,\qquad \log_{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{3}}=-1.$$

Значит, график — возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $$\left(1;0\right),\left(\sqrt{3};1\right),\left(\frac{1}{\sqrt{3}};-1\right).$$

б)

$$y=\log_{\frac{1}{\pi}}x$$

Так как $$\frac{1}{\pi}<1,$$ функция убывает на области определения.

Опорные точки:

$$\log_{\frac{1}{\pi}}1=0,\qquad \log_{\frac{1}{\pi}}\frac{1}{\pi}=1,\qquad \log_{\frac{1}{\pi}}\pi=-1.$$

Значит, график — убывающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $$\left(1;0\right),\left(\frac{1}{\pi};1\right),\left(\pi;-1\right).$$

в)

$$y=\lg x$$

Это логарифм по основанию $$10,$$ а значит, $$10>1,$$ функция возрастает.

Опорные точки:

$$\lg 1=0,\qquad \lg 10=1,\qquad \lg 0{,}1=-1.$$

Следовательно, график проходит через точки $$\left(1;0\right),\left(10;1\right),\left(0{,}1;-1\right)$$ и возрастает.

г)

$$y=\log_{0{,}2}x$$

Так как $$0{,}2<1,$$ функция убывает на области определения.

Опорные точки:

$$\log_{0{,}2}1=0,\qquad \log_{0{,}2}0{,}2=1,\qquad \log_{0{,}2}5=-1.$$

Значит, график — убывающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $$\left(1;0\right),\left(0{,}2;1\right),\left(5;-1\right).$$

Ответ: все графики — логарифмические кривые с асимптотой $$x=0$$; в пунктах а) и в) они возрастают, в пунктах б) и г) — убывают.