Упр.42.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$y=3\log_{4}x$$;
б) $$y=2\log_{\frac{1}{3}}x$$;
в) $$y=5\log_{8}x$$;
г) $$y=\frac{1}{2}\log_{0.5}x$$.

Подробный ответ

Для построения графиков удобно использовать преобразование графика функции $$y=\log_a x$$.

а)

Функция $$y=3\log_4 x$$ получается из графика $$y=\log_4 x$$ растяжением в 3 раза вдоль оси ординат.

Так как $$4>1$$, функция $$y=\log_4 x$$ возрастает при $$x>0$$, значит и график $$y=3\log_4 x$$ тоже возрастает.

Область определения: $$x>0$$. Вертикальная асимптота: $$x=0$$. Область значений: $$y\in \mathbb{R}$$.

б)

Функция $$y=2\log_{\frac13} x$$ получается из графика $$y=\log_{\frac13} x$$ растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.

Так как $$0<\frac13<1$$, функция $$y=\log_{\frac13} x$$ убывает при $$x>0$$, значит и график $$y=2\log_{\frac13} x$$ тоже убывает.

Область определения: $$x>0$$. Вертикальная асимптота: $$x=0$$. Область значений: $$y\in \mathbb{R}$$.

в)

Функция $$y=5\log_8 x$$ получается из графика $$y=\log_8 x$$ растяжением в 5 раз вдоль оси ординат.

Так как $$8>1$$, функция $$y=\log_8 x$$ возрастает при $$x>0$$, значит и график $$y=5\log_8 x$$ возрастает.

Область определения: $$x>0$$. Вертикальная асимптота: $$x=0$$. Область значений: $$y\in \mathbb{R}$$.

г)

Функция $$y=\frac12\log_{0,5} x$$ получается из графика $$y=\log_{0,5} x$$ сжатием в 2 раза к оси абсцисс.

Так как $$0<0,5<1$$, функция $$y=\log_{0,5} x$$ убывает при $$x>0$$, значит и график $$y=\frac12\log_{0,5} x$$ убывает.

Область определения: $$x>0$$. Вертикальная асимптота: $$x=0$$. Область значений: $$y\in \mathbb{R}$$.

Ответ: во всех пунктах графики логарифмических функций с указанными коэффициентами; область определения $$x>0$$, вертикальная асимптота $$x=0$$, область значений $$\mathbb{R}$$; в пунктах а) и в) графики возрастают, в пунктах б) и г) — убывают.