Упр.42.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее значение функции:
а) $$y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2+4);$$
б) $$y=\log_{0,3}(x^2-4x+3).$$
а) Рассмотрим функцию $$y=\log_{\frac12}(x^2+4).$$
Так как $$0<\frac12<1,$$ логарифмическая функция убывает. Значит, наибольшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении аргумента $$x^2+4.$$
Поскольку $$x^2\ge 0,$$ то
$$x^2+4\ge 4,$$
и минимум аргумента равен $$4$$ при $$x=0.$$ Тогда
$$y_{\max}=\log_{\frac12}4=\log_{\frac12}\left(\left(\frac12\right)^{-2}\right)=-2.$$
Ответ: $$-2.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=\log_{0,3}(x^2-4x+3).$$
Так как $$0,3<1,$$ логарифмическая функция убывает. Поэтому наибольшее значение $$y$$ было бы при наименьшем положительном значении аргумента.
Но
$$x^2-4x+3=(x-2)^2-1.$$
Минимум выражения $$x^2-4x+3$$ равен $$-1$$ при $$x=2,$$ а для логарифма нужно, чтобы аргумент был положительным:
$$x^2-4x+3>0.$$
На промежутках допустимых значений аргумент может сколь угодно близко приближаться к нулю, но не равняться ему. Тогда
$$\log_{0,3}(x^2-4x+3)\to +\infty$$
при $$x^2-4x+3\to 0+.$$ Следовательно, наибольшего значения функция не имеет.
Ответ: наибольшего значения не существует.
